【数学】数系的扩充和复数的概念课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念学习目标学习目标1.1.1.1.了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程；了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程；了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程；了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程；2.2.2.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；3.3.3.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件。掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件。掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件。掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件。学习重点：学习重点：复数的概念，实数、虚数、纯虚数之间的关系，复数相等的含义。复数的概念，实数、虚数、纯虚数之间的关系，复数相等的含义。复数的概念，实数、虚数、纯虚数之间的关系，复数相等的含义。复数的概念，实数、虚数、纯虚数之间的关系，复数相等的含义。课堂引入课堂引入 被被“数数”出来的自然数出来的自然数今天真顺，可是我今天真顺，可是我现在现在共捕了多少头野猪共捕了多少头野猪呢呢？有办法了，用结绳来计数！有办法了，用结绳来计数！我真是天才！我真是天才！远古时期的人类，远古时期的人类，用划痕、用划痕、石子、石子、结绳记数，创造结绳记数，创造了自然数了自然数1.2.3.4.1.2.3.4.55自然数是现实世自然数是现实世界最基本的数量，界最基本的数量，是全部数学的发是全部数学的发源地源地.计数的需要自然数被被“欠欠”出来的负数出来的负数该如何记出该如何记出入账呢入账呢?东汉初期的东汉初期的“九章算术九章算术”中就有负中就有负数的说法数的说法负数的引入，解决了在负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾数集中不够减的矛盾.相反量的需要负数被被“分分”出来的分数出来的分数大约在春秋战国时期大约在春秋战国时期等额公平分配的需要分数分数的引入分数的引入,解决解决了在整数中不能了在整数中不能整除的矛盾整除的矛盾.数系的扩充思考：数系为什么被扩充？扩充的原因是什么?二、问题导学（8分钟）数数系系的的扩扩充充自然数自然数正有理数和零正有理数和零有理数有理数实数实数NQ Q+00Q QR用图形表示数集包含关系：用图形表示数集包含关系：负数能否开平方负数能否开平方?在解方程时经常会遇到这类问题在解方程时经常会遇到这类问题.如果负数可以如果负数可以开平方开平方,那这个平方根会不会是实数那这个平方根会不会是实数,是什么数呢是什么数呢?实部实部2.复数的代数形式复数的代数形式虚部虚部其中其中i 称为称为虚数单位虚数单位。思考思考2：你认为如何定义两个复数相等？你认为如何定义两个复数相等？通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即 全体复数所成的集合叫做全体复数所成的集合叫做复数集复数集，用字母，用字母C表示表示.一一.复数的概念复数的概念形如形如a+bi(a,b R)的数叫做复数的数叫做复数.1.定义：定义：如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等分别相等，那么我们就说这，那么我们就说这两个两个复数相等复数相等二二.复数相等复数相等思考思考2 2：在什么条件下在什么条件下z=a+bi(a,bR)是实数？是实数？复数集复数集C C和实数集和实数集R R之间有什么关系？之间有什么关系？三三.复数的分类复数的分类复数：复数：a+bia+bi(a,bR)(a,bR)思考思考1 1：1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部指出复数的实部与虚部.0,0,练习：练习：实数实数:0,0,虚数虚数:纯虚数纯虚数:例例1.1.当当m m为何实数时，复数为何实数时，复数 是是 （1 1）实数；（）实数；（2 2）虚数；（）虚数；（3 3）纯虚数）纯虚数.1.复数复数z(m21)(m1)i(mR)是纯虚数，则有是纯虚数，则有()Am1 Bm1 Cm1 Dm1练习：练习：B2.复数复数zcosisin，且，且0,，若若z是实数，则是实数，则的值为的值为_；若若z为纯虚数，则为纯虚数，则的值为的值为_0或或/2例例2.已知已知x，y是实数是实数，且满足且满足(2x1)(3y)iyi，求求x，y.1.a22i4(4a)i，则实数，则实数a的值为的值为()A2 B2 C2或或2 D0或或2练习：练习：B2.已知关于已知关于x的方程的方程(32i)x(m2i)0有实数根，则实数有实数根，则实数m的的值为值为_，方程的实根，方程的实根x为为_13三、点拨精讲对于一元二次方程对于一元二次方程 没有没有实数实数根根引入一个新数：引入一个新数：满足满足满足满足引入一个新数引入一个新数 ，叫做虚数单位，并规定叫做虚数单位，并规定（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立加、乘运算律仍然成立(1)复数定义：定义：我们把形如我们把形如a a+bi bi(a a、b b R R)的数叫做的数叫做，其中其中i i 叫做叫做.全体复数所构成的集合全体复数所构成的集合C C=a a+bibi|a a、b b R R 叫做叫做表示法：表示法：复数通常用字母复数通常用字母z z表示，即表示，即.以后不作特殊说明时复数以后不作特殊说明时复数 z=z=a a+bi bi 都有都有a a、b b R R,其中的其中的 与与 分别叫做复数的分别叫做复数的与与.复数的代数形式实部实部实部实部通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即虚部虚部虚部虚部其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。复数的分类：复数的分类：复数集虚数集实数集纯虚数集1.复数zabi(a，bR)(b0)，(b0)纯虚数 ，非纯虚数_ 实数虚数a0，b0a0,b0 1.1.下列哪些是纯虚数？它们的实部和虚部分别是多少？下列哪些是纯虚数？它们的实部和虚部分别是多少？看看你掌握了吗？看看你掌握了吗？例例1 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是是（1）实数？）实数？（2）虚数？）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？解解：（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当 ，且，且 ，即，即 时，复时，复 数数 z 是纯虚数是纯虚数练习：当实数m为何值时，复数z (m22m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？相等复数如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那么我们就分别相等，那么我们就说这两个复数说这两个复数相等相等即如果即如果 ，那么，那么00=+babia两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小例题讲解解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组所以所以例例2 已知已知 ，其中，其中 ，求，求.yx与与 当实数当实数 分别取什么数值时，复数分别取什么数值时，复数 是：是：(1)(1)实数；实数；(2)(2)虚数；虚数；(3)(3)纯虚数纯虚数.课堂练习课堂练习 解：解：(1)(1)要使要使 是实数，则实数是实数，则实数 满足：满足：解得解得 ，所以当所以当 时，时，是实数是实数.(2)(2)要使要使 是虚数，是虚数，则则实数实数 满足：满足：解得解得 且且 ，所以当所以当 且且 时，时，是虚数是虚数.课堂练习课堂练习(3)(3)要使要使 是纯虚数，则实数是纯虚数，则实数 满足：满足：解得解得 ，所以当所以当 时，时，是纯虚数是纯虚数.当实数当实数 分别取什么数值时，复数分别取什么数值时，复数 是：是：(1)(1)实数；实数；(2)(2)虚数；虚数；(3)(3)纯虚数纯虚数.方法点拨方法点拨：(1)(1)要判断一个复数是什么类型的数，首先要分清这个复数的实部和虚部以及它们对复要判断一个复数是什么类型的数，首先要分清这个复数的实部和虚部以及它们对复数分类的影响，因此要把复数化为代数形式数分类的影响，因此要把复数化为代数形式 ，列出实部和虚部满足，列出实部和虚部满足的方程的方程(不等式不等式)组即可组即可(2)(2)根据复数的类型求参数时根据复数的类型求参数时，要先确定参数的取值使代数式有意义要先确定参数的取值使代数式有意义.(2)(2)因为复数表示0，所以只需把0看作 即可转化为复数相等的 问题，故可求得当 且 时复数 表示0.例例2.2.求满足下列条件的实数求满足下列条件的实数 ，的值：的值：（1 1）（2 2）(课本P70练习改编)解：解：(1)(1)由两个复数相等的充要条件得：解得：解得：例题讲解例题讲解若若 ，则则“”是是“”“”的的().).A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件当当 时时，当且仅当，当且仅当 且且 即即 所以所以 或或 ，故，故“”是是“”“”的充分不必要条件的充分不必要条件因此选因此选A.A.课堂练习课堂练习分析：当分析：当 时时 ，所以，所以 .方法点拨：方法点拨：(1)(1)解决复数相等问题解决复数相等问题是在复数的代数形式下根据实部与实部相等，虚部与是在复数的代数形式下根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程（组）求解虚部相等列方程（组）求解(2)(2)复数相等的充要条件是复数相等的充要条件是“化虚为实化虚为实”的主要依据，的主要依据，是复数问题实数化思是复数问题实数化思想的体现想的体现易错分析：易错分析：没有正确理解复数的概念，复数与实数混淆了.1.1.下列说法中，正确的有下列说法中，正确的有_ 若若 ，则，则 ；是纯虚数是纯虚数；方程方程 无实根无实根课堂练习课堂练习解：错，如 ,；错，当 ，是实数；正确判别式 ，所以方程无实根.2.2.若若复数复数 为纯虚数，求实数为纯虚数，求实数 的值的值解解:为纯虚数，则需满足为纯虚数，则需满足 且且 ，解得解得 .易错分析：纯易错分析：纯虚数与虚数的概念不清虚数与虚数的概念不清,此题易忽视虚部此题易忽视虚部 的取值，的取值，只由只由 得得 ，而当，而当 时，时，不不是纯虚数是纯虚数课堂练习课堂练习易错分析：易错分析：对复数的分类不清对复数的分类不清,忽视条件中忽视条件中“”“”的意义，错误认为的意义，错误认为 且且 .实际上实际上两个复数都是实数，才可以比较大小，否则是不能比较大小两个复数都是实数，才可以比较大小，否则是不能比较大小的的 3.3.已知已知 ，若，若 ，求实数求实数 的值的值解：能比较大小的两个数一定是实数，故解：能比较大小的两个数一定是实数，故 ，解得，解得 或或 因因 ，所以，所以 ，解得解得 ，故实数，故实数 .课堂练习课堂练习解:设 是原方程的实数根,则原方程可以变为：因此解得 .若关于若关于 的方程的方程 有实数根，有实数根，求实数求实数 的值的值.问题探究问题探究分析：将方程转化为等号两边均为复数 的形式，确定两边的复数的实部和虚部，利用复数相等的充要条件，列方程组求解.当 时，方程的实数根：;当 时，方程的实数根：.对于虚系数的一元二次方程 ，根与系数的关系依然适用，并可用求根公式 求出方程的根，但是不能用“判别式 ”判断方程有无实数根.因此对于含虚系数的一元二次方程有实数根求参数问题，由于虚数单位的特殊性,并且“判别式 ”是只适用于实系数的一元二次方程，因此不能用判别式求参数的取值.方法点拨：方法点拨：解决此题关键是把含虚系数方程有实数根问题转化为两个复数相等的问题，复数问题的“实数化”是解决复数问题的重要方法.