锐角三角函数讲义

锐角三角函数第一课时：三角函数定义与特殊三角函数值知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：在RtABC中，/ C=900, /A、/B、ZC的对边分别为 a、b、c,则/A 的正弦可表示为： sinA= ,/A的余弦可表示为 cosA=ZA的正切：tanA= ,它们弦称为/A 的锐角三角函数例1.如图所示，在RtAABO, / C= 90 .()=斜边sin B()斜边cosAcosB()斜边tan A()A的邻边tan B例2.锐角三角函数求值：在 RtAABC, / C= 90 ,若 a=9, b=12,则 c= sin A=, cosA=, tan A=, sin B=, cos B=, tan B=.例 3.已知：如图，RtTNMh / TM仲 90 , MRLTN于 R 点，TN= 4, MN= 3.求:sin / TMR cos / TMR tan / TMR对应练习:1、在 RtABC 中,a=5, c=13,求 sinA , cosA, tanA .2、 如图， ABC中,25AB=25, BC=7, CA=24 求 sinA 的值.3 、已知a是锐角，且cos a =3 ,4求 sin a、tan a 的值.4、在 RtzXABC 中， C 90°, AC5, BC4 ,贝 Utan A5、在 AABC 中，/ C=90 ,sinA=那么tanA的值等于6、7、则).A. 35B.C.D.在 ABC 中，/ C= 90,cosA= 344c= 4,贝U a =如图，P是/ a的边OA上一点，且P点坐标为（2, 3）sin a 二知识点二:特殊角的三角函数值锐角？304560sin ?cos?tan ?时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1.求下列各式的值.(1).计算： 2 cos30J2sin45tan 60 .(2)计算：tan60 sin2 45 2cos30 .例2.求适合下列条件的锐角? tan飞3(3)已知？为锐角,且tan(300)氏,求tan的值例3.三角函数的增减性1 .已知/A为锐角，且sin A <，那么/A的取值范围是2A. 0 V A < 30 B. 30< A <60 C. 60< A <90 D. 30< A < 902 .已知A为锐角，且 cos A sin30。，贝U()A. 0 V A < 60 B. 30 < A < 60 C. 60< A <90 D. 30< A < 90类型一特殊三角函数值与计算1、(1)计算：3T+(2 兀一1)0gtan30° - tan45计算：后段侬60加45噂由30(3)计算：tan45 sin30 ; 1 cos60(4) sin 222-(5) 6 cos(16) 3. 3在ABC中，若cosA- (sinB* 0, A, B都是锐角, 求C?类型二：利用网格构造直角三角形1、如图所示，4ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A. 2 B .夸 C近 D2/5AB2、如图， ABC的顶点都在方格纸的格点上，则 sin A3、如图，A R C三点在正方形网络线的交点处，若将 ABC51、已知 RtAABC,类型三：直角三角形求值C 90, tan A 3, BC 12,求 AC AB 和 COS B. 42、如图，。O的半径OA= 16cm, OCL AB于 C点，sin aoc 34求AB及OC勺长.3、已知：O O中，OCL AB于 C点，AB= 16cm, sin aoc 35(1)求。O的半径OA的长及弦心距 OC(2)求 cos / AO8 tan / AOC4、已知 A是锐角，sin A 求cosA tan A的值 17类型四.利用角度转化求值：1、已知：如图，RtAABO, /C= 90 . D是AC边上一点,DE!AB于 E点.DE： AE= 1 : 2.求：sin B、cosR tan B.2、如图，直径为10的。A经过点C(0,5)和点0(0,0),与x轴的正半轴交于点D, B是y轴右侧圆弧上一点,cos/OBC勺值为()A 2 B .93、如图患癌题邪顶点为Q它的一边在x轴的正半轴上,一边OA上有一点P (3, 4),则sin210cm, DE! AB sin a 3,5则这5、如图，。是 ABC的外接圆,AD是。的直径，若。的半,AC 2,则sin B的值是（径为32A. 23D. 46、如图,AE折叠矩形纸片ABCD ,使点D落在BC边的点F处.已知AB8, BC 10,AB=8,贝Utan/EFC 的值为（）A. 3则AD的长为（D.-57、如图，在等腰直角三角形AC 上一点，若 tan DBA 15/A的平分线8、 如图，在 RtABC中，/ C=90 , AG8,Aa曳3求/B的度数及边BC AB的长. 3AC=2/3 ,求类型五.化斜三角形为直角三角形1、 如图，在 ABC中，/A=30° , / B=45°AB的长.AB= 10, AC2、已知：如图，在 ABCK / BAC= 120 , =5.求：sin / ABC勺值.3、如图，在 RtABC中，/ BAC=90，点 D在BC边上，且ABD是等边三角形.若 AB=2求 ABC的周长.（结果保留根号）4、已知：如图， ABB, AB= 9, BO6, ABC勺面积等 于 9,求 sin B.5、ABB, / A=60 , AB=6 cm, AC=4 cm,则 ABC勺面积是A.2 .3 cm2.4 3 cm2C.6 3 cm22 cm第二课时：解直角三角形知识点三：解直角三角形1.在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下：在 RtMBg / C= 90 , AO b, BO a, AB= c,三边之间的等量关系：两锐角之间的关系：边与角之间的关系：sin A cosB ； cosA sin B ；a 11-tan A ; tan B .tan Btan A直角三角形中成比例的线段.在 RtAABO, / C= 90 , CtX AB于 D.CD=; AC=;BC=; AC- BG=.类型一例 1.在 RtAABO, / C= 90 .(1)已知：a=35, c 35正,求/ A / B, b；(2)已知：a 2於)b 2 ,求/ A、/ B, c；已知：sin A I，c 6,求 a、b；已知：tanB 3, b 9,求 a、C； 已知：/ A= 60° , ABC勺面积s 33,求a、b、c及/ B.例 2.已知：如图， AB8, / A= 30° , / B= 60° , AC= 10cm.求AB及BC的长.例 3.已知：如图，RtAABC, / 4 90° , / B= 45/AC及60 . BO 10cm.求 AD的长.例 4.已知：如图， ABb, / A= 30° , / B= 135 , AC= 10cm.求AB及BC的长.知识点四：三角函数应用类型一： 三角函数在几何中的应用1 .已知：如图，在菱形 ABC冲，DE!AB于E, BE= 16cm,sin A1213求此菱形的周长.C2 .已知：如图，RtAABO, / C= 90° , ac bc V3 ,作/DAG30 , AD交 CB于 D点，求：（1） / BADcos / BADFH tan / BAD3 .已知：如图 ABC, D为BC中点，且/ BAD= 90tan b 1,求：sin / CAD cos/CAD tan / CAD3，4 .如图，在 RtAABC, / C=90 , sinB 3,点 D在 BC边5 7上，DC= AC = 6,求 tan /BAD的值.A5.如图,AB®, /A=30 , tanB 勺"长.第三课时，解直角三角形应用类型二：解直角三角形的实际应用、仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角1.如图，从热气球C处测得地面 A B两点的俯角分别是30°、45° ,如果此时热气球 C处的高度 CD为100米，点A、D B在同一直线上，则 AB两点的距离是（）AD SA. 200 米B. 20装米C. 22娟米D. 100 (%+1)2.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D点.已知/ BAO 60° , / DA245° .点D到地面的垂直距离 DE 342m ,求点B到地面的垂直距离BC3.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD：30m从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角/DCA60 ,测得山顶B的仰角/ DCB30 ,求风力发电装置的高 AB的 长.4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3万米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.5 .已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30° ,测得岸边点 D的俯角为45° ,又知河宽CM 50m,现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC求山的高度及缆绳 AC的长（答案可带根号）.6 .如图，为测量某物体 AB的高度，在D点测得A点的仰角为30° ,朝物体AB方向前进20米，到达点C,再次测得点A的仰角为60° ,则物体AB的高度为(A. 10有米B. 10米C. 2小米D.