速度合成公式的思考
速度合成公式的思考1相对论速度变换在S、S系上测某一质点在某一瞬时的速度dxS系上:dxdyvxdxdtvxZvvzdtdydtdzdtdzdt=(dx-vdt)二 dy=(dtv2dx) c(dx - vdt)dxdtv(dtdx)dy=(X - vt)(tx)vx 一 vvxdydydtvyvz讨论:dtdzdtWy(dt - v2 dx) (1dzdzdt(dt -vx-v(1dx)vxvxvx)vzvx)«1时,dX)dt(1Vx)vzv dX)dtVxvxvy(1 -2 vx)(17-11)v 'T vx) c皆，v '(1-vx)c=VyVx =Vx Vy = VyVz 二 VzVz=Vz洛伦兹变换一；伽利略变换.2、速度合成公式在以速度v沿K系的X轴运动着的k系中,设有一个点依照下面的方程3'0'此处：和'都表示常数x，y ，z，t 这些量求这个点对于K系的运动借助于§ 3中得出的变换方程，我们把1-1 .)cov(0 ,1+ 引进这个点的运动方程中来，我们就得到:to . 4-Vz = 1 yvCO L 1+ A这样，依照我们的理论，速度的平行四边形定律只在第一级近似范围内才是有效的我们令:密沪烷）(0a arctan；20a因而被看做是V和3两速度之间的交角经过简单演算后，我们得到:vCO cosd甘si” CL值得注意的是，V和3是以对称的形式进入合成速度的式子里的如果3也取X轴（S轴）的方向，那么我们就得到:，从这个方程得知，由两个小于速度合成而得的速度总是小于V 因为如果我们置J -“ 'r L - 此处 k和入都是正的并且小于V,U"<V2V-k-人十等进一步还可看出，光速 V不会因为同一个“小于光速的速度”合成起来而有所改变这场合下，我们得到:当U和3具有同一方向时，我们也可以把两个依照§ 3的变换联合起来，而得到公式.如果除了在§ 3中所描述的K和k这两个坐标系之外，我们还引进另一个对 k做平行运动的坐标系k'，它的原点以速度3在E轴上运动着，那么我们就得到x,y ,z ,t这些量同k'的对应量之间的方程，它们同那些在§3中所得到的方程的区别，仅仅在于以1+笋这个量来代替“ v”；由此可知，这样的一些平行变换必然地一一形成一个群洛伦兹变换和爱因斯坦速度相加规建立在平直时空惯性参考系基础上,而现实世界中纯粹的惯性参考系是不存在的，在这种意义上狭义相对论应当被看成一种理想状态的理论般而言在有引力场存在的情况下， 爱因斯坦速度相加规则仅是一个近似公式但我们也知道,现有的关于光速不变的实验和观察都是在地球、太阳系和银河系的弱引力场空间范围内进行的.例如在地球绕太阳转动的轨道上完成的迈克耳逊-雷默干涉实验，对自转的太阳两边缘发出的光的观察【3】，对银河系内双星系统的光速的观察【4】，以及银河系内恒星和河外星系光行差现象的观察等等 【5】.所有这些实验和观察都证明， 即使在弱引力场和弱非惯性运动 情况下，光的速度仍然与光源的运动状态无关，近似地满足爱因斯坦速度相加规则假设我们的旧相识， 火车车厢，在铁轨上以恒定速度 v行驶；并假设有一个人在车厢里 沿着车厢行驶的方向以速度 w从车厢一头走到另一头那么在这个过程中，对于路基而言， 这个人向前走得有多快呢？换句话说，这个人前进的速度 W有多大呢？唯一可能的解答似乎可以根据下列考虑而得： 如果这个人站住不动一秒钟，在这一秒钟里他就相对于路基前进了段距离v，在数值上与车厢的速度相等但是，由于他在车厢中向前走动，在这一秒钟里他相对于车厢向前走了一段距离儿也就是相对于路基又多走了一段距离W,这段距离在数值上等于这个人在车厢里走动的速度 这样，在所考虑的这一秒钟里他总共相对于路基走了距 离 W=v+w我们以后将会看到，表述了经典力学的速度相加定理的这一结果，是不能加以支 持的；换句话说，我们刚才写下的定律实质上是不成立的但目前我们暂时假定这个定理是正确的（摘自浅说第 6节、经典力学中所用的速度相加定理的全文）在狭义相对论中，两惯性系相对速度.与丄，和L平行乂2 = X：* 務=花-讥 / Jl 1M / 厂二 f 一（占）也 y7i-v2Aa（i）f（，；）为 坐标系的坐标，（二二 ）为二坐标系的坐标，令J，所以变换矩阵为（2）如果X1，X2,X3，X* °； X1,X2,X3，X* 0,相对速度V不变，那么比较I .<'| 与/i2打必/ +j上必4盹+冷盹2(必f +必+'必f) _ ©£ + 必2 + &盂;、二空 (4i2 二必J +i 二必莎4 + 二dx：1必 J -dx =、(5)比较后知道(4)式=(5)式(d才 +办£ +必?)- ©工;+ 必J + 必J)二 一(dxj -必/)(6)相对论中速度合成公式V=(V1 ± V十(1± VV2/C2),仅适用于同一直线上两个速度的合成当物体的两个速度不在同一直线时，其合成公式又是怎样的呢？下面探讨一下当两个 速度垂直时速度的合成，由于互相垂直的两个速度互不影响，因此可从引力质量角度利用Lorentz transformation推导出来.设物体的引力静止质量为m,水平速度为V1,垂直速度为V2，合速度为V，不妨设先有水平速度 Vi，此时引力质量为mi，由Lorentz transformation得 m=m*( 1 - vi2* c2)0.522、 0.522222 24、0.52、m>=m*( 1 v 2 * c )=m0*( 1 v 1 * c v 2 * c +V1 v 2 * c ) =m*( 1 v 2* c )0.5.、#22222 V>= V 1 +V2 V1 V 2 * c ,当 V1<< c,V 2<< c 时,V12 V 22* C2t 0,此时 V= V 12+V22，这就是经典力学中正交速度合成公式.在经典力学中速度合成公式为v=(v 12+V22+2V1V2COS 0 )"5，在相对论中V1 2+V22变为V 12+V22vi2 V22十c2,可设其合速度公式为v=(v/+V22 vi2 v 22十c2+Xcos B )0.5，令0 =0,解得X,代2 2 2入上式得到合速度的计算公式当vivv c,v 2VV c时，vi v2 - c T 0,也可以回到经典力学中的速度合成公式，在此从略这也符合量子力学的对应原理由于整个宇宙形成的绝对空间不存在运动问题，因此相对论中的速度合成公式，仅适用于有限多个合成，不适用于无限多个早在二十世纪初，人们就已经对Ei nstein相对论力学和Newt on力学的数学结构做了最透彻的研究其研究后果之一就是把Newton力学与Galileo抛物几何空间【1】相对应；把Einstein 相对论力学与 Minkowski双曲几何空间【2】相对应；直言之， Galileo 惯性运动 变换群确定了 Newton力学空间为非Euclid性质的Galileo抛物空间；而Lorentz惯性运动 变换群确定了 Einstein 相对论力学空间为非 Euclid性质的Minkowski双曲空间.古新妙先各自满足不同的生认为：因为牛顿力学意义下的速度与相对论力学意义下的速度并不相同,加法公式，牛顿速度满足的加法公式是：U 二U(1) 而相对论速度满足的加法公式是:(2)从牛顿速度到相对论速度之间存在如下的映射关系：(3)” U 'UuV = c thV = c thv = c thccc这里的映射关系由双曲正切函数来实现.双曲函数的定义如下：双曲正弦:x.Xe -e shx 二双曲余弦:chx 二shx 双曲正切：thx.chx双曲正切具有下列性质：thx thyth(x y).1 +thx thy从牛顿速度加法公式(1)转换到相对论速度加法公式(2),是双曲正切的功劳，是 相对论的奥秘参考文献：【1】Galileo 几何 H. Beek 最小曲面的几何学，Sitzungsber.Leipziger BerlinerMath.Gee12:14-30,1913 L. Silberstein, Galileo时空中的射影几何，Philos. Mag. 10:1925 Makarova, N., M., Tow-dimensionalNoneuclidean Geometry with Parabolic Angle and Dissertati on, Lenin grad, 1962【2】 Minkowski 几何 A. Einstein关于相对性原理和有此得出的结论 Einstein 文集 第二卷 商务印书馆出版， 1977 J. D. Jackson, Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons Books Lnc. 1975 Shervatov, V. G., Hyperbolic Functions. Heath, Boston,1963 【3】 狭义相对论入门，叶壬葵，厦门大学出版社，317， (1988).【 4】. P. de Bernardis at al, Nature, 404, 955 (2000). Mermentt C. L., et al, Astrophys, J., Suppl., 148, 1 (2003).【5】S. 温伯格，引力论和宇宙学，科学出版社，478 (1984)
