211椭圆及其标准方程
第 一、二 课时使用时间:学 案组稿人：徐岩审核人：高二数学课题：2.1.1椭圆及其标准方程一、学习目标：1、掌握椭圆的第一定义 2、掌握椭圆标准方程及其推导3、椭圆四个顶点坐标，a，b，c的几何意义 4、利用题目已给条件求椭圆标准方程二、教学重、难点1、利用椭圆的第一定义推导椭圆的标准方程 2、求解椭圆的标准方程三、教学过程1、提出问题：做一个小实验取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？2、椭圆的第一定义：抓住本质，类比圆的定义，给椭圆下一个定义圆的定义：平面内到定点C的距离等于常数的点的轨迹叫做圆。椭圆的第一定义：平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。注意：在椭圆的定义中，将“大于”改为“等于” 或“小于”，其他条件不变，点的轨迹是什么？3、椭圆标准方程回顾求轨迹方程的几种方法（直接法、参数法、相关点法、交轨法），这里选用直接法。求出椭圆焦点在x轴上的椭圆的标准方程xyMO你能在图中找出表示a，b，c的线段吗？类比：求出椭圆焦点在y轴上的椭圆的标准方程xyMO焦点：， 焦距：2c 半焦距：c顶点： 长轴、长半轴、短轴、短半轴4、课本例题例1、已知椭圆两个焦点的坐标分别是例1、 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10。（2）两焦点坐标分别是，并且椭圆经过点。（3）。例2、（1）若椭圆标准方程为及焦点坐标。（2）若椭圆经过两点求椭圆标准方程。（3）若椭圆的一个焦点是，则k的值为 。（A） （B）8 （C） （D）32例2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10。（2）两焦点坐标分别是，并且椭圆经过点。（3）。例2、（1）若椭圆标准方程为及焦点坐标。（2）若椭圆经过两点求椭圆标准方程。（3）若椭圆的一个焦点是，则k的值为 。（A） （B）8 （C） （D）32例.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点 ，求它的标准方程。分析：法一：可由椭圆的定义先求出2a,又已知c,故可求出方程。法二：由焦点坐标知道a , b的关系，再将已知点代入椭圆方程。解法一、椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为（ab0）.由椭圆的定义知2a =,所以a = 又因为c = 2 ，所以b2 = a2 c2 = 10 4 = 6 .因此，所求椭圆的标准方程为解法二：因为c = 2 ,所以 a2 = b2 + 4 所以可设椭圆方程为： 把点（代入，可解得b2 = 6 .所以a2 = 10.因此，所求标准方程为.巩固练习：1如果椭圆 上一点P到焦点 的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离是 14 。 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a = 4 ,b = 1 ,焦点在x轴上； 明确： （2）a = 4 ,c = ,焦点在y轴上； 明确： (3) a + b = 10 , c = 2 。 明确： 或例.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点 ，求它的标准方程。分析：法一：可由椭圆的定义先求出2a,又已知c,故可求出方程。法二：由焦点坐标知道a , b的关系，再将已知点代入椭圆方程。解法一、椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为（ab0）.由椭圆的定义知2a =,所以a = 又因为c = 2 ，所以b2 = a2 c2 = 10 4 = 6 .因此，所求椭圆的标准方程为解法二：因为c = 2 ,所以 a2 = b2 + 4 所以可设椭圆方程为： 把点（代入，可解得b2 = 6 .所以a2 = 10.因此，所求标准方程为.巩固练习：1如果椭圆 上一点P到焦点 的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离是 14 。 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a = 4 ,b = 1 ,焦点在x轴上； 明确： （2）a = 4 ,c = ,焦点在y轴上； 明确： (3) a + b = 10 , c = 2 。 明确： 或（四）应用举例，归纳点评例1.判断下列椭圆的焦点位置，并求出的值：；.解：焦点在轴上，；焦点在轴上，；，焦点在轴上，；，焦点在轴上，.点评：椭圆的焦点始终落在长轴上，即在标准方程中分母较大对应的坐标轴上；满足关系式，其中最大.例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：，焦点在轴上；，焦点在轴上； 焦点为，且经过点。解：；由，解得，当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，；，。焦点在轴上，。点评：求椭圆的标准方程通常分为两步：先确定焦点的位置，再确定的值.若焦点位置不确定，则应分类讨论。（五）回顾小结，布置作业1椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆.当时，轨迹是线段F1F2；当时，轨迹不存在。2椭圆的标准方程：中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程称为椭圆的标准方程焦点在轴上的椭圆标准方程是；焦点在轴上的椭圆标准方程是.3椭圆标准方程中的几何意义：表示半长轴长，表示半短轴长，表示半焦距；椭圆的焦点始终落在长轴上；始终满足关系式.4布置作业：基础题：课本P42 A组1、2思考题：你能否利用椭圆的定义证明一个篮球在阳光的斜照下在地面上的投影边界线是一个椭圆？六、教学反思1关于椭圆定义的引入椭圆定义的引入有多种方式.比如观察引入：用一个平面去截圆柱，截得一个椭圆面，在圆柱内有两个球分别位于这个椭圆截面的上、下方，并且与截面以及圆柱都相切，切点分别为F1、F2，设M为椭圆上的任意一点，探求的值，等于两球公切线的长，从而引出椭圆的定义。又如折纸引入：在一张圆形纸片内部设置一个不同于圆心F1的一点F2，折叠纸片，使圆的周界上有一点落于设置点F2，折叠数次，形成一系列折痕，观察折痕围出一个椭圆，探求椭圆上的点到点F1、F2的距离之和等于圆的半径，从而引出椭圆的定义。相比之下，本节课采用的用细绳与铅笔动手画椭圆的引入方式尽管显得定义的发生过程不够自然，但直观性强，操作简单，学生印象深刻，对于一节新课来说还是比较合适的。2关于课堂例题的设计本节课的课堂例题可以从不同角度来设计.比如可以以椭圆定义的理解来设计例题：平面内满足的动点的轨迹是什么？平面内满足的动点的轨迹是什么？ABC中，B（-3，0），C（3，0），ABC的周长为16，则顶点A的轨迹是什么？又如可以以椭圆定义的应用来设计例题：已知点M是椭圆上的一点，F1、F2分别为左、右焦点。若，则 ；MF1F2的周长为 ；若，则MF1F2的面积为 。由于本节课的重点是从数与形的角度来全面认识椭圆及其标准方程，而前半节课在认识椭圆的定义以及推导椭圆的标准方程中已花去了大部分时间，因此本节课设计的例题主要侧重于从数的角度来认识椭圆的标准方程，即围绕如何根据椭圆的标准方程求出的值以及如何根据已知条件求出椭圆的标准方程两个方面来设计例题，以达到及时巩固、突出重点的目的。至于椭圆定义的灵活运用，由于时间的限制，只好留待下节课再展开。班级： 姓名： 分数： 作 业组稿人：徐岩审核人：高二数学
