扬州大学数学分析2008--2009学年第一学期期末试卷A及答案
专业课复习资料（最新版）专业课复习资料（最新版）封封面面1数学分析数学分析 试题（A ）卷（闭卷） 2008-2009 学年第 一 学期 学号： 姓名： 一、 单项选择题（一、 单项选择题（56 ） （）（）设na为一数列，对它有 若存在收敛子列，则na必收敛； 虽存在发散子列，但na仍可收敛； 若所有子列都收敛，则na必收敛；所有子列都收敛，但它们可有不同极限 （）（）设)(xf在),(上为一连续函数，则有 值域),(baf必为一开区间； 值域), (baf必为一闭区间； )( If为闭区间时，I亦必为闭区间； 以上、都不一定成立 （）（）若0)(af，则0，使得当),(aax时，必有 )(xf单调递増； )()(afxf； 若)(xf 存在，则 成立； 以上、都不一定成立 （） （） 设)(xf在,ba上可导， 则)(xf在,ba上必定为 既存在最大值，又存在最小值； 不能同时存在最大值和最小值； 在0)( xf的点处必取极值； 以上、都不一定成立 （）（） 已知0)(baxxfd， 这时必有 在0)(,xfba上； 不能有无穷多个)(xf取负值； C)(xf取正值的x要比取负值的x多得多； 不能只有有限多个)(xf取正值 二、计算题（二、计算题（401） （） （） 试求下列极限： 2 nnnn4242lim； 322 sin lim xttxx0d （） （）设 yxyufuyxue)xln()(,12,220 试求)()(0ufuf与 （）（）试求由曲线 xyln，直线ee1,xx，及x轴所围曲边梯形的面积 S （）（）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）求内接于椭圆 12222 byax的长方形的最大面积 三、证明题（三、证明题（301） （） （） 设)(xf在,ba上连续试证： ,),(Mmbaf， 其中Mm 与分别是)(xf在,ba上的最小值与最大值 （） （） 利用凸函数方法（詹森不等式）证明： )(31 33333 cbacba , 其中 cba,为任意正数；并讨论当cba,为任意负数时，上述不等式应作怎样改变？ （） （） 证明： 34ln 3)1()1(01 nnnn 提示：把上式中的级数看作 3 31S31011)1(xnnnnx 参考答案参考答案 一、 （）一、 （）； （）（）； （）（）； （）（）； （）（） 二、 （）二、 （） 解 545lim4242lim nnnnnnn； . .03sin2limsin2limsin lim443022xxxxxttxxxx23xd（）（） 解 22022222252 54 )(, 122)( eeeeufyx yyxyyxxuf yx yx （）（） 解 所围曲边梯形如右图 所示，其面积为 1)ln(11 )ln(ln)ln(111eeddeexxxxxxxxxxSe22 （）（） 解 由题意，所求长方形的面积为yxS4)0,0(yx，其中),(yx需满足 12222 byax， xO 1 ee/1|ln|xyyxyO),(yxa b4故此为一条件极大值问题依据 Lagrange 乘数法，设 )1(2222 byaxyxL， 并令 . .01,02,02222222byaxLbyxLaxyLyx（） 由方程组（）容易解出： 2,22222byax byax 据题意，内接长方形的最小面积为零；故最大面积为bayxS24 三、 （）三、 （） 证 由闭区间上连续函数的最大、小值定理，,21baxx，使得 Mxfmxf)(,)(21 若)(,21xfMmxx于是则恒为一常数，结论成立；现不妨设21xx 再由连续 函数的介值性定理，yxfbaxxxMmy)(,),(, ),(21使得， 这说明值 域), (baf充满了整个闭区间,Mm （） （） 证 设3)(xxf由于 ),0(,06)(,13)(2 xxxfxxf， 所以)(xf在),0(上为一凸函数根据詹森不等式，对任何正数cba,，恒有 )(31 33333 cbacba 而当)0,(x时，)(xf为一凹函数，故对任何负数cba,，恒有 5)(31 33333 cbacba （） （） 证 由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和此时可以考虑把所求级数的和看作幂级数)(xS011) 1(nnnnx在31x处的值，于是问题转为计算)(xS 不难知道上述幂级数的收敛域为1, 1(，经逐项求导得到 1, 1(,) 1()( 0xxxS nnn； 这已是一个几何级数，其和为 1, 1(,11)()( 0xxxxS nn 再通过两边求积分，还原得 xx xttttSSxS 00, )1(ln11)()0()(dd 由于这里的0)0(S，于是求得 0134ln)311(ln)31( 3)1() 1(nnn S n
