矩阵在线性方程组中的应用

矩阵在线性方程组中的应用 摘 要 矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容。在高等数学教学中运用矩阵解线性方程组的措施基本上是所知的固定几种：运用矩阵初等变换、克拉默法则、高斯若尔当消去法。但是解一种线性方程组有时需要几种措施配合使用，有时则需要选择其中的最简朴的措施。而对于某些特殊的线性方程组的解法很少有进行归类、解说。我们但愿可以通过对本课题的研究，总结和归纳用特殊矩阵解几类特殊线性方程组的解法。核心词 矩阵;线性方程组;齐次线性方程组;非齐次线性方程组MTRIE N THE APLICATINOF H SSTEM F LINER QUATIONABSTATMaris adsytm ofinear quations are mportanonte fancd heatis. We ofteuse eveal fid meth tsolveytmof linear qutins in adaned mhematics,sch asMtix tansformatins;Crame' RueandGaus-Jordan elimiatn metod.ut soeimes, weneed to hoose of the most imple way,or e ed to use severaletodstlve system of liear eutosFr ome pecia solutio methd ofse of inear equains, theearefew classifcatiand xpanatn ietail. Weoe tht canreserch， mmarizs an nduces olutionmetdofsme pcial system o iner eqtns with sia atrces.KY ORD matrices; system of linear equaions;mogees ytemof lir equtin； nonomogeossste of inear euaions目 录 中文摘要I英文摘要I目 录II引 言11.矩阵和线性方程组的概述11.矩阵的概念1.线性方程组的概念213线性方程组解的状况2矩阵在线性方程组中的应用32.克拉默法则2高斯消元法2.3非齐次线性方程组新解法的解题环节62.直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法72.5运用追赶法解线性方程组92.LU分解92.2追赶法1026运用分块矩阵求解非齐次线性方程组122.7用加边矩阵求解非齐次线性方程组3结 论17参照文献17致 谢19引 言矩阵的概念最早在世纪由英国数学家凯利提出。在数学史上，研究过矩阵论的出名数学家有许多。在文献1中简介了英国数学家西尔维斯特于152年对矩阵的合同发现出名的“惯性定理”。在文献2中英国数学家凯莱刊登了重要文章矩阵论的研究报告，对矩阵的基本理论进行了系统的论述。固然尚有许多数学家对矩阵的发展做出了伟大的奉献。随着时代的不断发展，矩阵已经在各个领域得到了广泛的运用,是一种非常常用的用品。在数学领域中作为解决线性方程的工具之一,前人对此已经做了大量的的研究。93年,微积分的发现者之一德国数学家莱布尼茨建立了行列式论。170年,瑞士数学家克莱姆其后又定下了克拉默法则（又称克莱姆法则）。18,高斯和威廉·若尔当建立了人们熟知的高斯若尔当消去法。 线性方程组是各个方程有关未知量均为一次的方程组。在文献3中理解到线性方程组在线性代数的教学中非常重要,行列式、矩阵、向量组的线性有关性、线性空间的基变换、坐标变换等，都和线性方程组有着非常密切的联系。 矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容,矩阵和线性方程组是相辅相成的，在高等数学教学中运用矩阵解线性方程组的措施基本上是所知的固定几种。对于某些线性方程组的特殊解法很少有进行归类、解说。本文重要研究用特殊矩阵解某些线性方程组的措施,通过认真阅读本课题有关文献,如陈祥云的矩阵的初等变换及其应用，辛奎东的有关线性方程组新解法的摸索，刘红旭的运用分块矩阵求解非齐次线性方程组，杨可的用加边矩阵求解非齐次线性方程组的尝试等等,分析、总结和归纳用特殊矩阵解线性方程组的解法。1.矩阵和线性方程组的概述.矩阵的概念由个数，排成个横行个竖列的数表,称为行列矩阵或级矩阵，简称矩阵。数位矩阵的元素,矩阵常简朴记为或或,或简记为，等。12线性方程组的概念 线性方程组的一般形式如下： （1-1） 其中表达个未知量,是方程组的个数,则表达方程组的系数,称为常数项。如果所有的常数项都等于0,即为 (12） 则方程组（1-)称为齐次线性方程组。否则称为非另一方面线性方程组。线性方程组(1-1）的解是数域的一种有序数组,当未知量分别用代入时,（1.1)中的每个方程都成立。这里将方程组（1-)记为矩阵形式，。在此处把称为这个线性方程组的系数矩阵，如果再将常数项添加进去,让它称为矩阵的最后一列:称其为此线性方程组的增广矩阵，记为。1.3线性方程组解的状况 在求解线性方程组时，一方面需要讨论线性方程组解的状况。它也许无解,也许存在唯一解或者也许存在无穷多组解。在这里,我们讨论线性方程组解的状况,以及它的通解表达形式。对于一般状况下的线性方程组(11)，将它的增广矩阵化为行阶梯矩阵。这个阶梯形矩阵在合适调动前列的顺序之后也许有两种情形:或者 其中。在前一种状况我们鉴定为本来方程组无解,而在后一种情形方程组有解。我们对背面一种状况进行讨论:a：若，则原方程组(-1)有唯一解。b：若且,则原方程组(1-1)有无穷多组解。这无穷多组解可以用一般解来表达，其中自由变量有个，主变量有个。2.矩阵在线性方程组中的应用2.1克拉默法则在这里简朴简介了运用克拉默法则解线性方程组。克拉默法则:如果具有个方程的元线性方程组 （21) 的系数矩阵的行列式则方程组(2-2)有唯一解，并且其中是将系数行列式的第列元，换成常数项后的行列式。下面运用克拉默法则解一种简朴的线性方程组。例2.1 解线性方程组解: 而 因此即原方程组的解为。例2.2 当下述方程组有非零解时，取何值时：解:该齐次方程组有非零解，当且仅当其系数矩阵的行列式因此由上可知,当齐次方程组有非零解时,。.2高斯消元法高斯消元法也是一种常用的解线性方程组的措施。对于具有个方程，个未知量的元线性方程组一方面用初等行变换先把上面方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵，然后写出该阶梯形矩阵所相应的方程组,逐渐回代,即可以求出方程组的解。由于它们为同解方程组,因此也就得到了上面方程组的解。这种措施被称为高斯消元法。例2.2.1 解方程组解：先写出增广矩阵，再化成阶梯形矩阵,即根据最后一种增广矩阵可以得出其表达的线性方程组为将最后一种方程乘，再将项移至等号的右端，得将其代入第二个方程,解得再将，代入第一种方程组,解得因此，方程组的解为其中可以任意取值。.3非齐次线性方程组新解法的解题环节在文献7中简介了非齐次线性方程组新解法的解题环节： （1）约化阶梯形矩阵。 （)写出相应的方程组。 (3)把上面每个方程中下标最小的变量用其她变量表达,其他缺失的变量相应的补齐。 (4)写出方程组解的向量形式。例2.4. 解线性方程组解：（)一方面约化阶梯形矩阵然后对增广矩阵进行初等变化，化为简化的阶梯型矩阵则原方程有无穷多种解。（2） 写出相应的方程组。 （3）把上述每个方程中下标最小的变量用其他变量表达,其他缺失的变量补齐。 (4）写出方程组的解。.直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法下面简介直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法。一方面对增广矩阵进行初等变换、零拓展矩阵和转解运算，再直接求出齐次方程组的基本解系和非齐次方程组的特解,进而求出非齐次方程组的通解。定义8 对于矩阵增长个维行向量而生成的新矩阵称做的拓展矩阵;若增长行向量都是零向量，则生成的新矩阵称为的零拓展矩阵,若增长的行向量构成一种单位方阵则生成的新矩阵称为的单位拓展矩阵。定义28 在矩阵中,若,有,则称为广义上三角矩阵。定义8 设是广义三角矩阵,在中，若，而,构导致一种新矩阵，当，有;当,令,则定义为归零运算（或称转解运算），生成的矩阵称为归零矩阵(或转解矩阵)。定理8 设实数域上非齐次线性方程组,对进行零拓展，使其成为,对进行初等变换,使其成为对角线上的元素只取1和的广义上三角矩阵(若而时则进行行行互换使得所在的行变为中的第行)；令,则矩阵中元素只取0或-1值；若当说相应的第列为零向量,则所有说相应的第列向量就构成方程的基本解系，而第列向量则是方程组的特解。定理28 对于方程组(2-1)说相应的增广矩阵进行拓展和初等变换，得到满足定理1的;当时，而时,做转解运算生成转解矩阵，使得当时,有，则所相应的列向量的全体即为方程组的基本解系，矩阵中的第列向量乃是的特解，通过若干次转解运算存在满足定理1条件的转解矩阵。例2.1 求解方程组解：对增广矩阵进行变换,因此由定理1知方程组的解为。25运用追赶法解线性方程组本小节的解法是先把线性方程组的系数矩阵分解成为下三角阵和上三角阵的乘积，然后运用追赶法来求解线性方程组。为了把系数矩阵分解为一种下三角阵和一种上三角阵的乘积，则需要运用LU分解法(也称为三角形分解法)。2.L分解9令的前n-1个顺序主子矩阵非奇异,那么就存在单位下三角阵，以及上三角阵,使得并且这样的分解是唯一的。令矩阵有LU分解,即将两端的第一行元素进行对比可以得出将两端的第一列元素进行对比可以得出