江苏专版2019版高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪检测二十八等差数列文2
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江苏专版2019版高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪检测二十八等差数列文2
课时跟踪检测(二十八) 等差数列一抓基础,多练小题做到眼疾手快1(2018·徐州、连云港、宿迁质检)已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,若3,则的值为_解析:设等差数列an的首项为a1,则由3,得3,所以d4a1,所以.答案:2等差数列an中,a4a810,a106,则公差d_.解析:由a4a82a610,得a65,所以4da10a61,解得d.答案:3等差数列an的前n项之和为Sn,若a56,则S9_.解析:法一:因为S99a59×654.法二:由a56,得a14d6,所以S99a1d9(a14d)9×654.答案:544(2018·苏州质量监测)已知数列an满足a115,且3an13an2.若ak·ak1<0,则正整数k_.解析:3an13an2an1anan是等差数列,则ann.因为ak1·ak<0,所以<0,所以<k<,又因为kN*,所以k23.答案:235设数列an,bn都是等差数列若a1b17,a3b321,则a5b5_.解析:因为(a1a5)(b1b5)2(a3b3)42,所以a5b542735.答案:356等差数列an中,已知a5>0,a4a7<0,则an的前n项和Sn的最大值为_解析:因为所以所以Sn的最大值为S5.答案:S5二保高考,全练题型做到高考达标1已知Sn是数列an的前n项和,且Sn1Snan3,a4a523,则S8_.解析:法一:由Sn1Snan3,得an1an3,故数列an是公差为3的等差数列,又a4a5232a17d2a121,所以a11,S88a1d92.法二:由Sn1Snan3,得an1an3,故数列an是公差为3的等差数列,S892.答案:922数列an的前n项和Sn2n23n(nN*),若pq5,则apaq_.解析:当n2时,anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1,当n1时,a1S15,符合上式,所以an4n1,apaq4(pq)20.答案:203(2018·苏州期末)已知an是等差数列,a515,a1010,记数列an的第n项到第n5项的和为Tn,则|Tn|取得最小值时n的值为_解析:由a515,a1010得an5n40,an55n15,Tn15(112n),当112n±1时,即n5或6时,|Tn|取最小值15.答案:5或64设等差数列an满足a27,a43,Sn是数列an的前n项和,则使得Sn>0成立的最大的自然数n_.解析:由题可得an的公差d2,a19,所以an2n11,则an是递减数列,且a5>0>a6,a5a60,于是S9·9>0,S10·100,S11·11<0,故所求n的值为9.答案:95设数列an的前n项和为Sn,若为常数,则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1,公差不为0,若数列bn为“吉祥数列”,则数列bn的通项公式为_解析:设等差数列bn的公差为d(d0),k,因为b11,则nn(n1)dk,即2(n1)d4k2k(2n1)d,整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立,所以(4k1)d0,(2k1)(2d)0,解得d2,k.所以数列bn的通项公式为bn2n1.答案:bn2n16在等差数列an中,公差d,前100项的和S10045,则a1a3a5a99_.解析:因为S100(a1a100)45,所以a1a100,a1a99a1a100d,则a1a3a5a99(a1a99)×10.答案:107在等差数列an中,a17,公差为d,前 n项和为Sn ,当且仅当n8 时Sn 取得最大值,则d 的取值范围为_解析:由题意,当且仅当n8时Sn有最大值,可得即解得1<d<.答案:8设等差数列an的前n项和为Sn,Sm12,Sm0,Sm13,则正整数m的值为_解析:因为等差数列an的前n项和为Sn,Sm12,Sm0,Sm13,所以amSmSm12,am1Sm1Sm3,数列的公差d1,amam1Sm1Sm15,即2a12m15,所以a13m.由Sm(3m)m×10,解得正整数m的值为5.答案:59已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk110.(1)求a及k的值;(2)设数列bn的通项bn,证明:数列bn是等差数列,并求其前n项和Tn.解:(1)设该等差数列为an,则a1a,a24,a33a,由已知有a3a8,得a1a2,公差d422,所以Skka1·d2k×2k2k.由Sk110,得k2k1100,解得k10或k11(舍去),故a2,k10.(2)证明:由(1)得Snn(n1),则bnn1,故bn1bn(n2)(n1)1,即数列bn是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn.10(2017·南京、盐城二模)已知数列an的前n项和为Sn,数列bn,cn满足(n1)bnan1,(n2)cn,其中nN*.(1)若数列an是公差为2的等差数列,求数列cn的通项公式;(2)若存在实数,使得对一切nN*,有bncn,求证:数列an是等差数列解:(1)因为数列an是公差为2的等差数列,所以ana12(n1),a1n1.因为(n2)cn(a1n1)n2,所以cn1.(2)证明:由(n1)bnan1,得n(n1)bnnan1Sn,(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1,两式相减,并化简得an2an1(n2)bn1nbn.从而(n2)cnan1(n1)bn(n1)bn(n1)bn(bnbn1),因此cn(bnbn1)因为对一切nN*,有bncn,所以cn(bnbn1),故bn,cn.所以(n1)an1,(n2)(an1an2),得(an2an1),即an2an12,故an1an2(n2)又2a2a2a1,则an1an2(n1)所以数列an是等差数列三上台阶,自主选做志在冲刺名校1(2018·淮安高三期中)设等差数列an的前n项和为Sn.若a35,且S1,S5,S7成等差数列,则数列an的通项公式an_.解析:设等差数列an的公差为d,因为S1,S5,S7成等差数列,所以S1S72S5,则a17a121d2(5a110d),解得d2a1,因为a35,所以a11,d2,所以an2n1.答案:2n12(2018·苏州高三期中调研)已知数列an,bn满足a1,anbn1,bn1(nN*),则b1·b2··b2 018_.解析:由anbn1,得an1bn11,即bn11an1,把bn11an1代入bn1,化简可得1,所以是首项为2,公差为1的等差数列,可得数列an的通项公式为an,所以数列bn的通项公式为bn,所以b1·b2··b2 018.答案:3(2018·南京学情调研)已知数列an是公差为正数的等差数列,其前n项和为Sn,且a2·a315,S416.(1)求数列an的通项公式(2)设数列bn满足b1a1,bn1bn.求数列bn的通项公式;是否存在正整数m,n(mn),使得b2,bm,bn成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由解:(1)设数列an的公差为d,则d0.由a2·a315,S416,得解得或(舍去)所以an2n1.(2)因为b1a11,bn1bn,即b2b1,b3b2,bnbn1,n2,累加得bnb1,所以bnb11.又b11也符合上式,故bn,nN*.假设存在正整数m,n(mn),使得b2,bm,bn成等差数列,则b2bn2bm.又b2,bn,bm,所以2,即,化简得2m7.当n13,即n2时,m2(舍去);当n19,即n8时,m3,符合题意所以存在正整数m3,n8,使得b2,bm,bn成等差数列