（高考新构架19题）湖南省常德市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题（含答案）

2024年常德市高三年级模拟考试数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则A. B. C. D. 2.已知等差数列的前项和为，则A. B. C. D.3.已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是A.函数在R上单调递增 B.函数在上单调递增C.函数在上单调递增 D.函数在上单调递增4.如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥， 且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为A. B. C. D.5.已知，则A. B. C. D.6.已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则 A. B. C. D.7.已知，则=A9 B10 C18 D198.设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%. 从两箱产品中任取一件,经检验不合格,放回原箱后在该箱中再随机取一件产品,则该件产品合格的概率为A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列说法正确的是A.数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7B.样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同C.若随机事件，满足：，则，相互独立D.若，且函数为偶函数，则10.过点的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是A.以AB为直径的圆过坐标原点 B. C.若直线的斜率存在，则斜率为 D.若，则1211.若函数的零点为，函数 的零点为，则A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知曲线在处的切线与圆相交于A、B两点，则_13.若复数满足：，则_.14.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为_.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分13分)在中，内角,的对边分别为,，且(1)求角；(2)若,成等差数列，且的面积为，求的周长16(本小题满分15分) 某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：时间（天）123456789每天普及的人数y8098129150203190258292310(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求X的分布列和数学期望；(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.（参考数据：附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）.17(本小题满分15分)如图，在四棱锥中，平面平面，.(1)证明：平面；(2)已知三棱锥的体积为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值. 18(本小题满分17分)已知O为坐标原点，椭圆C：的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.19(本小题满分17分)已知函数.(1)判断函数在区间上极值点的个数并证明；(2)函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.证明：；试问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.2024年常德市高三年级模拟考试数学参考答案一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CDCBABDA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分题号91011答案BCABCBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12 13 14或 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分13分)解：(1)由正弦定理，.2分由余弦定理.5分又，.6分(2)由,成等差数列，.7分的面积为，即.9分由(1)由解得：.12分，故的周长为15.13分16. (本小题满分15分)解：(1)每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为0,1,2,3.1分，.5分故X的分布列为X0123P.7分(2)设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为，.8分.10分故 .13分，.15分17. (本小题满分15分)解：(1)证明：取AD的中点O，.1分又平面平面，平面平面=，平面.3分又平面，.4分，.5分又，平面，平面.6分(法二：，.3分又平面平面，平面平面，平面平面.6分阅卷说明：若考生用方法二：第（2）问建系没有证明的平面扣2分）(2)，.8分取PB的中点M，又为的中点，又，平面即为平面，为平面与平面的交线.10分取AB的中点Q，连结OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ两两垂直.如图建立空间直角坐标系，则，.11分设平面的法向量为，则，取，则，.13分设直线与平面夹角为，则故直线与平面夹角的正弦值.15分18. (本小题满分17分)解：(1)由题易得设，则.