锐角三角函数（第三课时）（导学案）-九年级数学下册同步备课系列（人教版）

28.1 锐角三角函数（第三课时）导学案 学习目标 1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据三角函数值说出对应锐角度数；2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式；3.结合锐角三角函数概念和含特殊角的直角三角形的性质，推导特殊角的三角函数值，了解知识之间的关系，学会综合运用，认识到三角函数也属于数的运算系列，掌握由角到边和由边到角的转换. 重点难点突破 知识点1： 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 核心知识 一、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 引入新课 【提问】简述正弦、余弦、正切的概念？ 新知探究 【问题一】下面两块三角尺有几个不同的锐角？【问题二】在RtABC中，C=90，B=30°，求：sin30°，cos30°，tan30°.【问题三】在RtABC中，C=90，A=60°，求：sin60°，cos60°，tan60°.【问题四】在RtABC中，C=90，A=45°，求：sin45°，cos45°，tan45°.由此我们得出：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：【问题五】观察特殊角的三角函数值，你发现了什么？ 典例分析 例1 如果是锐角，sin=32，那么cos的值是（）A12 B22 C32D33【针对训练】1.已知A是锐角，且满足3tanA30，则A的大小为（）A30°B45°C60°D无法确定2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）Acos43°cos16°sin30° Bcos16°sin30°cos43°Ccos16°cos43°sin30° Dcos43°sin30°cos16°3. 在实数0、3、tan45°、1中，最大的是（ ）A0B3 Ctan450 D-14.在ABC中，A，B都是锐角，tanA1，sinB22，你认为ABC最确切的判断是（）A等腰三角形B等腰直角三角形 C直角三角形D锐角三角形5.已知ABC的A与B满足 (1tanA)2 |sinB32|0，判断ABC的形状例2 求下列各式的值：(1) cos260°+ sin260° (2) cos45°sin45° - tan45°【针对训练】1.计算sin245°+cos 30°·tan 60°，其结果是()A2B1C52D542.计算：（12）1tan60°cos30°（）A12B1C12D323.计算：21+(12)22sin45°=_4.计算：4sin30°2cos45°+tan60°=_.5. 计算：1）4cos303tan60+2sin45cos45 2）|3|+3tan30°8+2cos45°（2018）06. 已知为锐角，且tan是方程x2 +2x-3=0的一个根，求2sin2+cos2-3 tan (+15°)的值 感受中考 1（2023·天津·中考真题）sin45°+22的值等于（    ）A1B2C3D22（2023·四川眉山·中考真题）计算：23013+3tan30°+1223（2023·四川内江·中考真题）计算：(1)2023+122+3tan30°30+324（2023·内蒙古·中考真题）计算：82+(2023)0+1222cos60° 课堂小结 1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2. 简述30°、45°、60°角的三角函数值？ 【参考答案】 新知探究 【问题一】下面两块三角尺有几个不同的锐角？30°、60°、45°【问题二】在RtABC中，C=90，B=30°，求：sin30°，cos30°，tan30°.假设30°角所对的边AC = a，则AB = 2a，由勾股定理得BC=AB2AC2 = 3 asin30°= ACAB = a2a = 12 cos30°= BCAB = 3a 2a = 32     tan30°= ACBC = a3a = 33【问题三】在RtABC中，C=90，A=60°，求：sin60°，cos60°，tan60°.假设30°角所对的边AC = a，则AB = 2a，由勾股定理得BC=AB2AC2 = 3 asin60°= BCAB = 3a2a = 32 cos60°= ACAB = a2a = 12 tan60°= BCAC = 3aa =3【问题四】在RtABC中，C=90，A=45°，求：sin45°，cos45°，tan45°.假设AC =BC=a，由勾股定理得AB=AC2+BC2 = 2 asin45°= ACAB = a2a = 22 cos45°= BCAB = a2a = 22 tan45°= ACBC = aa = 1由此我们得出：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：【问题五】观察特殊角的三角函数值，你发现了什么？1）为锐角，对于sin与tan，角度越大，函数值越大；对于cos，角度越大，函数值越小.2）互余的两角之间的三角函数关系：若A+B=90°，则sinA=cosB，即一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值.cosA= sinB，即一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值.tanA·tanB =1，即一个锐角的正切值与这个角的余角的正切值互为倒数. 典例分析 例1 如果是锐角，sin=32，那么cos的值是（A）A12 B22 C32D33【针对训练】1.已知A是锐角，且满足3tanA30，则A的大小为（A）A30°B45°C60°D无法确定2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ C ）Acos43°cos16°sin30° Bcos16°sin30°cos43°Ccos16°cos43°sin30° Dcos43°sin30°cos16°3. 在实数0、3、tan45°、1中，最大的是（ C ）A0B3 Ctan450 D-14.在ABC中，A，B都是锐角，tanA1，sinB22，你认为ABC最确切的判断是（B）A等腰三角形B等腰直角三角形 C直角三角形D锐角三角形5.已知ABC的A与B满足 (1tanA)2 |sinB32|0，判断ABC的形状解：(1tanA)2 | sinB 32 |0 tanA1，sinB 32 A45°，B60° 则C180°45°60°75° ABC 是锐角三角形例2 求下列各式的值：(1) cos260°+ sin260° (2) cos45°sin45° - tan45°解：1）cos260°+ sin260°=122+322=1         2）cos45°sin45° - tan45°= 22 ÷ 22 -1=0【针对训练】1.计算sin245°+cos 30°·tan 60°，其结果是(A)A2B1C52D542.计算：（12）1tan60°cos30°（C）A12B1C12D323.计算：21+(12)22sin45°=_3_4.计算：4sin30°2cos45°+tan60°=_1+3_.5. 计算：1）4cos303tan60+2sin45cos45 2）|3|+3tan30°8+2cos45°（2018）0解：1)原式=4×32-3×3+2×22×22=1-3 2）原式3+3×3322+2×221=3+122+21=326. 已知为锐角，且tan是方程x2 +2x-3=0的一个根，求2sin2+cos2-3 tan (+15°)的值解：解方程x2 +2x-3=0，得x1=1，x2=-3. tan0，tan=1，=45°. 2sin2+cos23 tan (+15°) = 2sin245°+cos245°tan60° = 2（22 ）2+（22 ）2 3 ×3  = - 32 感受中考 1（2023·天津·中考真题）sin45°+22的值等于（  B  ）A1B2C3D22（2023·四川眉山·中考真题）计算：23013+3tan30°+122解：原式=131+3×33+4=13+1+3+4=63（2023·四川内江·中考真题）计算：(1)2023+122+3tan30°30+32解：12023+122+3tan30°30+32=1+4+3×331+23=1+4+31+23=44（2023·内蒙古·中考真题）计算：82+(2023)0+1222cos60°解：原式=82+1+42×12=222+1+41=22+2