锐角三角函数（第二课时）（分层作业）【解析版】

28.1 锐角三角函数（第二课时）分层作业 基础训练 1ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c已知a=6，b=8，c=10，则cosA的值为（     ）A35B34C45D43【答案】C【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论【详解】解：在ABC中，a=6，b=8，c=10，a2+b2=62+82=36+64=100，c2=100，a2+b2=c2，ABC是直角三角形，cosA=bc=810=45故选：C【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及逆定理是解决本题的关键2在RtABC中，C=90°，sinB=35，那么下列结论正确的是（）AsinA=34BcosA=45CtanA=45DcotA=34【答案】D【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解【详解】解：如图，  sinB=ACAB=35，可设AC=3x,AB=5x， BC=4x，A、sinA=BCAB=4x5x=45，故本选项错误，不符合题意；B、cosA=ACAB=3x5x=35，故本选项错误，不符合题意；C、tanA=BCAC=4x3x=43，故本选项错误，不符合题意；D、cotA=ACBC=3x4x=34，故本选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3如图，在RtABC中，C=90°，AB=25，AC=7，则cosB等于（    ）  A724B3124C2425D725【答案】C【分析】根据勾股定理可求出BC的值，再根据余弦的计算方法求解【详解】解：在RtABC中，C=90°，AB=25，AC=7，BC=AB2AC2=25272=24，cosB=BCAB=2425，故选：C【点睛】本题主要考查勾股定理，余弦值的计算方法，掌握以上知识是解题的关键4在RtABC中，ACBC，C=90°，则下列式子成立的是（    ）AsinA=sinBBsinA=cosBCtanA=tanBDcosA=tanB【答案】B【分析】根据各个三角函数的定义即可解答【详解】解：A、sinA=BCAB,sinB=ACAB，sinAsinB，故A不成立，不符合题意；B、sinA=BCAB,cosB=BCAB，sinA=cosB，故B成立，符合题意；C、tanA=BCAC,tanB=ACBC，tanAtanB，故C不成立，不符合题意；D、cosA=ACAB,tanB=ACBC，cosAtanB，故D不成立，不符合题意；故选：B  【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法5在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（    ）A都扩大到原来的3倍B都缩小为原来的3倍C都保持原来的数值不变D有的变大，有的缩小【答案】C【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变故选：C【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关6如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，PQT=，则河宽PT的长度是（    ）AmsinBmcosCmtanDmtan【答案】C【分析】结合图形利用正切函数求解即可【详解】解：根据题意可得：tan=PTPQ，PT=PQ·tan=mtan，故选C【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键7如图，在RtABC中，B=90°，下列结论中正确的是（    ）AsinA=BCABBcosA=BCACCtanC=ABBCDcosC=ACBC【答案】C【分析】根据锐角三角函数的定义解答【详解】解：在RtABC中，B=90°，则sinA=BCAC,cosA=ABAC,tanC=ABBC,cosC=BCAC故选：C【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键8在RtABC中，C=90°、AB=5、BC=3，则tanA的值是（）A34B43C35D45【答案】A【分析】先由勾股定理求出AC，再由正切的定义完成求解【详解】解：由勾股定理知：AC=AB2-BC2=25-9=4，tanA=BCAC=34，故答案选：A【点睛】本题考查勾股定理和正切的定义，准确求解AC是解题的关键9在ABC中，C=90°，若tanA=12，则sinB=（      ）A55B32C255D233【答案】C【分析】根据三角函数的定义，知tanA=BCAC=12，设BC=x，AC=2x，根据勾股定理可求得AB，再根据三角函数的定义就可以求出sinB的值【详解】解：在ABC中，C=90°，tanA=BCAC=12，设BC=x，AC=2x，AB=BC2+AC2=x2+2x2=5x，sinB=ACAB=2x5x=255，故选：C【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，一个锐角的正弦值为对边比斜边，余弦值为邻边比斜边，正切值为对边比邻边10某滑梯示意图及部分数据如图所示若AE=1m，则DF的长为（    ）AtantanBtantanCsinsinDsinsin【答案】A【分析】根据tan=BEAE，BE=CF，tan=CFDF，求解即可【详解】tan=BEAE，AE=1m，BE=tan，BE=CF，BE=CF=tan，tan=CFDF，DF=CFtan=tantan故选：A【点睛】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握正切三角函数的运用11在RtABC中，C=90°，cosB=57，如果AB=14，那么AC= 【答案】46【分析】根据余弦定义求得BC，再根据勾股定理求解即可【详解】解：在RtABC中，C=90°，cosB=57=BCAB，AB=14，BC=57AB=10，AC=AB2BC2=142102=46，故答案为：46【点睛】本题考查余弦定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键12锐角满足cos=13，则cos90°= 【答案】223/232【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可【详解】解：如图，ABC，C=90°，A=，则ABC=90°，  由于cos=13=ACAB，可设AC=k，则AB=3k，所以BC=AB2AC2=22k，cos90°=cosABC=BCAB=22k3k=223，故答案为：223【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理，理解锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提13如图，ABC的三个顶点都在边长是1的小正方形的顶点上，则tanBAC= 【答案】43【分析】过C作CEAB于E，则AEC=90°，求出AE和CE的长，再解直角三角形求出tanBAC即可【详解】解：如图，过C作CEAB于E，AEC=90°，小正方形的边长为1，AE=3，CE=4，tanBAC=CEAE=43故答案为：43【点睛】本题考查了解直角三角形理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键15如图，在RtABC中，A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB（1）若AE=1，求ABD的周长；（2）若AD=13BD，求tanABC的值【答案】（1）1；（2）2【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出ABD的周长；(2)设AD=x，BD=3x，进而求出AC=AD+CD=4x，在RtABD中使用勾股定理求得AB=22x，由此即可求出tanABC的值【详解】解：(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，DF为BC垂直平分线，BD=CD，CABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC =AB+ACAB=CE，CABD=AC+CE=AE=1(2)设AD=x，BD=3x，又BD=CD，AC=AD+CD=4x，在RtABD中，AB=BD2AD2=(3x)2x2=22xtanABC=ACAB=4x22x=2【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键 能力提升 1如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tanBAC的值为（）A12B1C33D3【答案】B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到ABC为等腰直角三角形，即可求出所求【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB2+BC2=AC2，ABC为等腰直角三角形，BAC=45°，则tanBAC=1，故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理2如果等腰三角形的腰与底边的比是5:6，那么底角的余弦值等于 【答案】35【分析】如图，ABC中，根据等腰三角形的腰与底边的比是5:6，设腰长为AB=AC=5k，底边长BC=6k，作AEBC于E，则BE=EC=12BC，在RtAEC中，根据cosC=ECAC=12·BCAC，即可解决问题【详解】解：如图，ABC中，等腰三角形的腰与底边的比是5:6，设腰长为AB=AC=5k，底边长BC=6k，作AEBC于E，BE=EC=12BC，在RtAEC中，cosC=ECAC=12·BCAC=12×6k5k=35，故答案为：35【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，余弦函数，熟练掌握函数的定义是解题的关键3如图矩形ABCD在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，AB=6，ABD=60°，则点D的坐标   【答案】9，0【分析】由矩形的性质可知BAD=90°，再利用AB=6，解直角三角形得OB=3，BD=12，进而可得OD=BDOB=9，即可求得点D的坐标【详解】解：四边形ABCD是矩形BAD=90°ABD=60°，AB=6，OB=ABcos60°=3，BD=ABcos60°=12，OD=BDOB=123=9，点D的坐标为