概率论完整第12讲
连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间,对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量,不能不能象离散型随机变量那样象离散型随机变量那样,以指定它取每个以指定它取每个值概率的方式值概率的方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而是而是通过给出所谓通过给出所谓“概率密度函数的方式概率密度函数的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.1.实例实例:(见教材例见教材例1)上海年降雨量的分布上海年降雨量的分布 由实例启发我们如何描述连续型随机变量由实例启发我们如何描述连续型随机变量.上海上海99年年降雨量的数据年年降雨量的数据 根据这些数据作频率直方图根据这些数据作频率直方图对频率直方图进行考察对频率直方图进行考察请看演示请看演示:怎样画直方图怎样画直方图直方图与密度直方图与密度,使得对任意使得对任意 ,有有 对于随机变量对于随机变量 X,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数f(x),x 则称则称 X为连续型为连续型r.v,称称 f(x)为为 X 的概率密度函的概率密度函数，简称为概率密度或密度数，简称为概率密度或密度.2.连续型连续型r.v及其密度函数的定义及其密度函数的定义3.概率密度函数的性质概率密度函数的性质1 o2 o这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为面积为1 故故 X的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度相当于线密度.若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：=f(x)4.对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率.但是，这但是，这个高度越大，那么个高度越大，那么X取取a附近的值的概率就附近的值的概率就越大越大.也可以说，在某点密度曲线的高度也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo假设不计高阶无穷小，有：假设不计高阶无穷小，有：它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：a为任一指定值为任一指定值这是因为这是因为需要指出的是需要指出的是:由此得由此得，1)对连续型对连续型 r.v X,有有2)由由P(X=a)=0 可推知可推知而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件称称A为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见，可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出由由P(B)=1,不能推出不能推出 B=S下面给出几个下面给出几个r.v的例子的例子.由于连续型由于连续型 r.v唯一被它的唯一被它的密度函数密度函数所确所确定定.所以，若已知密度函数，该连续型所以，若已知密度函数，该连续型 r.v的概率规律就得到了全面描述的概率规律就得到了全面描述.f(x)xo1假设假设 r.vX的概率密度为：的概率密度为：那么称那么称X服从区间服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X U(a,b)它的实际背景是：它的实际背景是：r.v X 取值在区间取值在区间(a,b)上，并且取值在上，并且取值在(a,b)中任意小区间中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比内的概率与这个小区间的长度成正比.那么那么 X 具有具有(a,b)上的均匀分布上的均匀分布.公交线路上公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于以下情形：均匀分布常见于以下情形：如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差；点后某一位小数引入的误差；例例1 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来分钟来一班车，即一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀随机变量之间的均匀随机变量,试求他候车试求他候车时间少于时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解：解：依题意，依题意，X U(0,30)以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到之间到达车站达车站.所求概率为：所求概率为：从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.区间区间(0,1)上的均匀分布上的均匀分布U(0,1)在计在计算机模拟中起着重要的作用算机模拟中起着重要的作用.实用中，用计算机程序可以在短时间实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从内产生大量服从(0,1)上均匀分布的随机上均匀分布的随机数数.它是由一种迭代过程产生的它是由一种迭代过程产生的.严格地说，计算机中产生的严格地说，计算机中产生的U(0,1)随随机数并非完全随机，但很接近随机，故常机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为称为伪随机数伪随机数.如取如取n足够大，独立产生足够大，独立产生n个个U(0,1)随机数，那么从用这随机数，那么从用这 n 个数字画出的频个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于率直方图就可看出，它很接近于(0,1)上上的均匀分布的均匀分布U(0,1).则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命如元件的寿命.（2）若）若 r.v X具有概率密度具有概率密度常简记为常简记为 XE().至此，我们已初步介绍了两类重要的随至此，我们已初步介绍了两类重要的随机变量机变量:离散型离散型r.v和连续型和连续型r.v 能不能对它们给出一种统一的描述方法能不能对它们给出一种统一的描述方法？这就是下一讲要介绍的分布函数这就是下一讲要介绍的分布函数.f(x)xoxP(x)o对它们分别用概率函数和密度函数描述对它们分别用概率函数和密度函数描述.
