概率论与数理统计浙大四版 第二章5讲

第五讲 随机变量函数的分布随机变量函数的分布一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.求截面面积求截面面积 A=的分布的分布.例如，圆轴截面直径例如，圆轴截面直径 d 的分布，的分布，一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R为电阻为电阻的分布等的分布等.设随机变量设随机变量X 的分布，的分布，Y=g(X)(设设g是连续函数，如何由是连续函数，如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布？的分布？下面进行讨论下面进行讨论.这个问题无论在实践中还是在理论这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的上都是重要的.二、离散型随机变量二、离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解：当当 X 取值取值 1，2，5 时，时，Y 取对应值取对应值 5，7，13，例例1设设X求求 Y=2X+3 的概率函数的概率函数.而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生取其对应值是两个同时发生的事件的事件，两者具有相同的概率，两者具有相同的概率.故故如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.一般，假设一般，假设X是离散型是离散型 r.v，X的概率函数为的概率函数为X则则 Y=g(X)如：如：X 那么那么 Y=X2 的概率函数为：的概率函数为：Y 三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布解：设解：设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，例例2设设 X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y =P(2X+8 y)=P X =FX()于是于是Y 的密度函数的密度函数本例用到变限的定积分的求导公式本例用到变限的定积分的求导公式故故注意到注意到 0 x 4 时，时，即即 8 y 0 时时,注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时，解：解：设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，若若那么那么 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Yy)的过的过程中，关键的一步是设法程中，关键的一步是设法从从 g(X)y 中解出中解出X,从而得到与从而得到与 g(X)y 等价的等价的X的不等式的不等式.例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 用用 代替代替 X2 y 这样做是为了利用的这样做是为了利用的 X的分布，从而求的分布，从而求出相应的概率出相应的概率.这是求这是求r.v的函数的分布的一种常用方法的函数的分布的一种常用方法.练习：练习：设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=sinX的概率密度的概率密度.练习：练习：设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=sinX的概率密度的概率密度.当当 y 0时时,当当 y 1时时,当当时时故故解：注意到解：注意到,=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X ）解：当解：当0y1时时,练习练习 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=sinX的概率密度的概率密度.当当0y1,G(y)=1;对对y0,G(y)=0;由于由于对对0y1,G(y)=P(Y y)=P(F(X)y)=P(X (y)=F(y)=y即即Y的分布函数是的分布函数是求导得求导得Y的密度函数的密度函数可见可见,Y 服从服从0，1上的均匀分布上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟中有重要的应用本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.下面给出一个定理，在满下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度随机变量函数的概率密度.其中，其中，此定理的证明与前面的解题思路类似此定理的证明与前面的解题思路类似.x=h(y)是是y=g(x)的反函数的反函数定理定理 设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间a,b，具有概率，具有概率密度密度 f(x)的连续型的连续型r.v,又设又设y=g(x)处处可导，且处处可导，且对于任意对于任意x,恒有恒有 或恒有或恒有 ，则，则Y=g(X)是一个是一个连续型连续型r.v，它的概率密度为，它的概率密度为 下面我们用这个定理来下面我们用这个定理来解一个例题解一个例题.例例 5 5 对于连续型随机变量，在求对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分的分布时，布时，关键的一步是把事件关键的一步是把事件 g(X)y 转化转化为为X在一定范围内取值的形式在一定范围内取值的形式，从而可以利，从而可以利用用 X 的分布来求的分布来求 P g(X)y.重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方法：的方法：先求分布函数，再求导，求随机变先求分布函数，再求导，求随机变量函数的概率密度。量函数的概率密度。这一讲我们介绍了随机变量函数的分布这一讲我们介绍了随机变量函数的分布.本章要求：本章要求：1 会用随机变量表示随机事件。会用随机变量表示随机事件。2 理解分布函数的定义及性质，要会利用分理解分布函数的定义及性质，要会利用分布函数表示事件的概率。布函数表示事件的概率。3 理解离散型随机变量及其分布率的定义、理解离散型随机变量及其分布率的定义、性性 质，会求离散型随机变量的分布率及分布质，会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两两点分布、二项分布、泊松分布。点分布、二项分布、泊松分布。4 理解连续型随机变量及概率密度的定义、理解连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其系及其 运算，掌握常用的连续型随机变量运算，掌握常用的连续型随机变量分布：分布：均匀均匀 分布、指数分布和正态分布。分布、指数分布和正态分布。5 会求随机变量的简单函数的分布。会求随机变量的简单函数的分布。练习3测量某目标的距离时，误差测量某目标的距离时，误差Xm，且，且知知X N(20,1600),求三次测量中至少有一求三次测量中至少有一次误差绝对值不超过次误差绝对值不超过30m的概率的概率.4设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求5 Y=-2lnX的概率密度的概率密度.例例7证证:X 的概率密度为的概率密度为由定理的结论得由定理的结论得：例例6 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解：在区间在区间(0,1)上上,函数函数lnx0,于是于是 y在区间在区间(0,1)上单调下降，有反函数上单调下降，有反函数由前述定理得由前述定理得注意取注意取绝对值绝对值已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中得得即即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布.