概率论与数理统计浙大四版 第七章 第七章1讲

第七章第七章 参数估计参数估计 引言引言 上一讲，我们介绍了总体、样本、简上一讲，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出了几介绍了统计中常用的三大分布，给出了几个重要的抽样分布定理个重要的抽样分布定理.它们是进一步学习它们是进一步学习统计推断的根底统计推断的根底.总体总体样本样本统计量统计量描述描述作出推断作出推断研究统计量的性质和评价一个研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决统计推断的优良性，完全取决于其于其抽样分布抽样分布的性质的性质.随机抽样随机抽样 现在我们来介绍一类重要的统计推断问题现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.参数估计参数估计估计废品率估计废品率估计新生儿的体重估计新生儿的体重估计湖中鱼数估计湖中鱼数 估计降雨量估计降雨量 在参数估计问题中，假定总体分布在参数估计问题中，假定总体分布形式，未知的仅仅是一个或几个形式，未知的仅仅是一个或几个参数参数.这类问题称为这类问题称为参数估计参数估计.参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法X1,X2,Xn要依据该样本对参数要依据该样本对参数作出估计，或估计作出估计，或估计的某个已知函数的某个已知函数 .现从该总体抽样，得样本现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数设有一个统计总体，总体的分布函数向量向量).为为 F(x,)，其中，其中 为未知参数为未知参数(可以是可以是参数估计参数估计点估计点估计区间估计区间估计（假定身高服从正态分布（假定身高服从正态分布 ）设这设这5个数是个数是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69估计估计 为为1.68，这是这是点估计点估计.这是这是区间估计区间估计.估计估计 在区间在区间1.57,1.84内，内，假设我们要估计某队男生的平均身高假设我们要估计某队男生的平均身高.现从该总体选取容量为现从该总体选取容量为5的样本，我们的样本，我们的任务是要根据选出的样本（的任务是要根据选出的样本（5个数）求出个数）求出总体均值总体均值 的估计的估计.而全部信息就由这而全部信息就由这5个数个数组成组成.一、点估计概念及讨论的问题一、点估计概念及讨论的问题例例1 已知某地区新生婴儿的体重已知某地区新生婴儿的体重X随机抽查随机抽查100个婴儿个婴儿得得100个体重数据个体重数据10,7,6,6.5,5,5.2,呢呢?据此据此,我们应如何估计我们应如何估计和和而全部信息就由这而全部信息就由这100个数组成个数组成.为估计为估计 ,我们需要构造出适当的样本我们需要构造出适当的样本的函数的函数T(X1,X2,Xn)，每当有了样本，就，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为代入该函数中算出一个值，用来作为 的的估计值估计值.把样本值代入把样本值代入T(X1,X2,Xn)中，得到中，得到的一个点估计值的一个点估计值.T(X1,X2,Xn)称为参数称为参数的点估计量，的点估计量，请注意，被估计的参数请注意，被估计的参数 是一个是一个未知常数，而估计量未知常数，而估计量 T(X1,X2,Xn)是一个随机变量，是样本的函数是一个随机变量，是样本的函数,当当样本取定后，它是个已知的数值样本取定后，它是个已知的数值,这这个数常称为个数常称为 的估计值的估计值.使用什么样的统计量去估计使用什么样的统计量去估计？可以用样本均值可以用样本均值;也可以用样本中位数也可以用样本中位数;还可以用别的统计量还可以用别的统计量.问题是问题是:我们知道我们知道,服从正态分布服从正态分布由大数定律由大数定律,自然想到把样本体重的平均值作为总体平均自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计体重的一个估计.类似地，用样本体重的方差类似地，用样本体重的方差 .用样本体重的均值用样本体重的均值样本体重的平均值样本体重的平均值1.矩估计法矩估计法 其根本思想是用样本矩估计总体矩其根本思想是用样本矩估计总体矩.理论依据理论依据:它是基于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换思想建立起来的一种估计方法思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家是英国统计学家K.皮尔逊皮尔逊最早提出的最早提出的.大数定律大数定律记总体记总体k阶矩为阶矩为样本样本k阶矩为阶矩为用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法就称为矩估计法.记总体记总体k阶中心矩为阶中心矩为样本样本k阶中心矩为阶中心矩为 设总体的分布函数中含有设总体的分布函数中含有k个未知参数个未知参数 都是这都是这k个参数的函数个参数的函数,记为：记为：,那么它的前那么它的前k阶矩阶矩一般一般i=1,2,k从这从这k个方程中解出个方程中解出j=1,2,k那么用诸那么用诸 的估计量的估计量 Ai分别代替上式分别代替上式中的诸中的诸 ,即可得诸即可得诸 的矩估计量的矩估计量：j=1,2,k解解:由矩法由矩法,样本矩样本矩总体矩总体矩从中解得从中解得的矩估计的矩估计.即为即为数学期望数学期望是一阶是一阶原点矩原点矩 例例2 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为是未知参数是未知参数,其中其中X1,X2,Xn是取自是取自X的样本的样本,求参数求参数 的矩估计的矩估计.解解:由密度函数知由密度函数知 例例3 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本其中其中 0,求求 的矩估计的矩估计.具有均值为具有均值为 的指数分布的指数分布故故 E(X-)=D(X-)=即即 E(X)=D(X)=解得解得令令用样本矩估计用样本矩估计总体矩总体矩即即 E(X)=D(X)=解解例例4解方程组得到解方程组得到a,b的矩估计量分别为的矩估计量分别为 矩法的优点是简单易行矩法的优点是简单易行,并不需要并不需要事先知道总体是什么分布事先知道总体是什么分布.缺点是，当总体类型时，没有缺点是，当总体类型时，没有 充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息.一般场合下一般场合下,矩估计量不具有唯一性矩估计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时，其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性一定的随意性.稍事休息稍事休息 2.极大似然法极大似然法 是是在在总总体体类类型型条条件件下下使使用用的的一一种种参参数数估计方法估计方法.它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在1821年提出的年提出的,GaussFisher然而，这个方法常归功于然而，这个方法常归功于英国统计学家英国统计学家费歇费歇.费歇费歇在在1922年重新发现了年重新发现了 这一方法，并首先研究了这这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质种方法的一些性质.极大似然法的根本思想极大似然法的根本思想 先看一个简单例子：先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一某位同学与一位猎人一起外出打猎起外出打猎.如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下.下下面面我我们们再再看看一一个个例例子子,进进一一步步体体会会极极大似然法的根本思想大似然法的根本思想.你就会想，只发一枪便打中你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率概率一般大于这位同学命中的概率.看来这看来这一枪是猎人射中的一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经表达了极大似这个例子所作的推断已经表达了极大似然法的根本思想然法的根本思想.例例5 设设XB(1,p),p未知未知.设想我们事先知设想我们事先知道道p只有两种可能只有两种可能:问问:应如何估计应如何估计p?p=0.7 或或 p=0.3如今重复试验如今重复试验3次次,得结果得结果:0,0,0由概率论的知识由概率论的知识,3次试验中出现次试验中出现“1的次的次数数k=0,1,2,3 将计算结果列表如下：将计算结果列表如下：应如何估计应如何估计p?p=0.7 或或 p=0.3k=0,1,2,3p值值 P(Y=0)P(Y=1)P(Y=2)P(Y=3)0.70.027 0.189 0.441 0.343 0.30.343 0.441 0.189 0.027出现出现估计估计出现出现出现出现出现出现估计估计估计估计估计估计0.3430.4410.4410.343 如果只知道如果只知道0p1,并且实测记录是并且实测记录是 Y=k(0 k n),又应如何估计又应如何估计p呢呢?注意到注意到是是p的函数的函数,可用求导的方法找到使可用求导的方法找到使f(p)到达到达极大值的极大值的p.但因但因f(p)与与lnf(p)到达极大值的自变量相同到达极大值的自变量相同,故问题可转化为求故问题可转化为求lnf(p)的极大值点的极大值点.=f(p)将将ln f(p)对对p求导并令其为求导并令其为0,从中解得从中解得=0便得便得 p(n-k)=k(1-p)以上这种选择一个参数使得试验结果具有最大概率的思想就是极大似然法的根本思想.这时这时,对一切对一切0p0,求导并令其为求导并令其为0=0从中解得从中解得即为即为 的的MLE.对数似然函数为对数似然函数为解：似然函数为解：似然函数为 例例8 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本其中其中 0,求求 的极大似然估计的极大似然估计.i=1,2,n对数似然函数为对数似然函数为解：似然函数为解：似然函数为i=1,2,n=0 (2)由由(1)得得=0 (1)对对 分别求偏导并令其为分别求偏导并令其为0,对数似然函数为对数似然函数为用求导方法无法最终确定用求导方法无法最终确定用极大似然原则来求用极大似然原则来求.是是对对故使故使 达到最大的达到最大的 即即 的的MLE，于是于是 取其它值时，取其它值时，即即 为为 的的MLE.且是且是 的增函数的增函数由于由于极大似然估计的一个性质极大似然估计的一个性质可证明极大似然估计具有下述性质：可证明极大似然估计具有下述性质：设设 的函数的函数g=g()是是 上的实值函数上的实值函数,且有唯一反函数且有唯一反函数.如果如果 是是 的的MLE，则，则g()也是也是g()的极大似然估计的极大似然估计.卡尔.皮尔逊Karl Prarson,1857-1936，英国生物学家和统计学家，旧数理学派和描述统计学派的代表人物，现代统计科学的创立者。卡尔.皮尔逊从儿童时代起，就有着广阔的兴趣范围，非凡的知识活力，善于独立思考，不轻易相信权威，重视数据和事实。他的主要成就和奉献是在统计学方面。他开始把数学运用于遗传和进化的随机过程，首创次数分布表与次数分布图，提出一系列次数曲线；推导出卡方分布，提出卡方检验，用以检验观察值与期望值之间的差异显著性；开展了回归和相关理论；为大样本理论奠定了根底。皮尔逊的科学道路，是从数学研究开始，继之以哲学和法律学，进而研究生物学与遗传学，集大成于统计学。在19世纪90年代以前，统计理论和方法的开展是很不完善的，统计资料的搜集、整理和分析都受到很多限制。皮尔逊在生物学家高尔顿(Francis Galton,1822-1911)和韦尔顿(Weldon,1860-1906)的影响下，从九十年代初开始进军生物统计学。他认为生物现象缺乏定量研究是不行的，决心要使进化论在一般定性表达的根底之上，进一步进行数量描述和定量分析。他不断运用统计方法对生物学、遗传学、优生学做出新的奉献。同时，他在先辈们善于赌博机遇的概率论研究的根底上，导入了许多新的概念，把生物统计方法提炼成为一般处理统计资料的通用方法，开展了统计方法论，把概率论与统计学两者溶为一体。他被公认是“旧派理学派和描述统计学派的代表人物，并被誉为“现代统计科学的创立者。