【数学】专题课堂 构造三角形的中位线 2023-2024学年人教版数学八年级下册

数学八下专题课堂(六)构造三角形的中位线一、已知两边中点，连接构造三角形中位线【例1】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BC15，CD9，EF6，AFE50°，求ADC的度数分析： 连接BD，根据勾股定理逆定理可求出BDC90°，由三角形的中位线定理可求出BDAAFE50°，从而可得出ADC的度数【对应训练】1如图，在边长为4的等边ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EFAC于点F，G为EF的中点，连接DG.(1)求EF的长；(2)求DG的长.2如图，四边形ABCD中，AB10，CD8，ABD30°，BDC120°，E，F分别是AD，BC的中点，求EF的长二、已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线【例2】如图，M，P分别为ABC的边AB，AC上的点，且AMBM，AP2CP，BP与CM相交于N.已知PN1，求PB的长分析：取AP的中点，利用三角形的中位线定理即可求解【对应训练】3如图，在四边形ABCD中，对角线ACBD，E，F分别是AB，CD的中点.若AC4 cm，BD6 cm，求EF的长度.4如图，在ABC中，AB7，M是BC的中点，AD是BAC的平分线，作MFAD交AC于点F，CF11.求AC的长.三、已知一边中点，延长另一边构造三角形中位线【例3】如图，在ABC中，点M为BC的中点，AD为ABC的外角平分线，且ADBD.若AB12，AC18，求DM的长【对应训练】5如图，在ABC中，AB9 cm，AC5 cm，E是BC的中点.若AD平分BAC，CDAD，求DE的长.6如图，在ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AFCD交CD延长线于点F，AC7，BC4，求EF的长.四、已知四边形对边的中点，取对角线中点构造三角形中位线【例4】如图，在ABC中，ABC90°，点D，E分别在边AB，BC上，且ADCE3，M，N分别为线段DE，AC的中点，求线段MN的长.【对应训练】7如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点，AB6，CD3，求MN的取值范围.学科网（北京）股份有限公司参考答案一、已知两边中点，连接构造三角形中位线【例1】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BC15，CD9，EF6，AFE50°，求ADC的度数分析： 连接BD，根据勾股定理逆定理可求出BDC90°，由三角形的中位线定理可求出BDAAFE50°，从而可得出ADC的度数解：连接BD，点E，F分别是边AB，AD的中点，EF6，EFBD，BD2EF12，ADBAFE50°，在BDC中，BD2CD212292225，BC2225，BD2CD2BC2，BDC90°，ADC90°50°140°【对应训练】1如图，在边长为4的等边ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EFAC于点F，G为EF的中点，连接DG.(1)求EF的长；(2)求DG的长.解：(1)EF3.(2)连接DE.在边长为4的等边ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，DE2且DEAC.EFAC，DEEF，即DEF90°.G为EF的中点，EG12EF32，DGDE2EG2192.2如图，四边形ABCD中，AB10，CD8，ABD30°，BDC120°，E，F分别是AD，BC的中点，求EF的长解：如图，取BD的中点P，连接EP，FP.E，F分别是AD，BC的中点，AB10，CD8，PEAB，且PEAB5，PFCD且PFCD4.又ABD30°，BDC120°，EPDABD30°，DPF180°BDC60°，EPFEPDDPF90°，在直角EPF中，由勾股定理得到：EF二、已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线【例2】如图，M，P分别为ABC的边AB，AC上的点，且AMBM，AP2CP，BP与CM相交于N.已知PN1，求PB的长分析：取AP的中点，利用三角形的中位线定理即可求解解：如图所示，取AP的中点D，连接MD，AP2CP，ADDPCP，AMBM，DM是ABP的中位线，DMBP，BP2DM，PN是CDM的中位线，DM2PN2，BP2DM2×24【对应训练】3如图，在四边形ABCD中，对角线ACBD，E，F分别是AB，CD的中点.若AC4 cm，BD6 cm，求EF的长度.解：取BC的中点H，连接EH，FH.E，F分别是AB，CD的中点，EH12AC2 cm，FH12BD3 cm，EHAC，FHBD.ACBD，EHFH，即EHF90°，EFEH2FH213 cm.4如图，在ABC中，AB7，M是BC的中点，AD是BAC的平分线，作MFAD交AC于点F，CF11.求AC的长.解：取AC的中点N，连接MN.M，N分别是BC，AC的中点，MN12AB72，MNAB，NC12AC.易得MNC2DAC.MFAD，MFNDAC，MFNFMN，FNMN72.CF11，NCCFFN152，AC2NC15.三、已知一边中点，延长另一边构造三角形中位线【例3】如图，在ABC中，点M为BC的中点，AD为ABC的外角平分线，且ADBD.若AB12，AC18，求DM的长解：延长BD交CA的延长线交于点E，AD为ABC的外角平分线，EADBAD，在EAD和BAD中，EADBAD(ASA)，AEAB12，BDDE，ECAEAC30，BMMC，BDDE，DM是EBC的中位线，DMEC15【对应训练】5如图，在ABC中，AB9 cm，AC5 cm，E是BC的中点.若AD平分BAC，CDAD，求DE的长.解：延长CD交AB于点F.易证ADFADC(ASA)，AFAC5，CDFD，BFABAF4.CDFD，E为BC的中点，DE12BF2 cm.6如图，在ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AFCD交CD延长线于点F，AC7，BC4，求EF的长.解：延长AF，CB交于点G.易证ACFGCF(ASA)，CGAC7，AFGF，BGCGBC3.AEBE，AFGF，EF12BG1.5.四、已知四边形对边的中点，取对角线中点构造三角形中位线【例4】如图，在ABC中，ABC90°，点D，E分别在边AB，BC上，且ADCE3，M，N分别为线段DE，AC的中点，求线段MN的长.解：连接CD，取CD的中点H，连接MH，NH.M，H分别为DE，CD的中点，MH12CE32，MHCE.同理可得NH12AD32，NHAD.ABC90°，即CEAD，MHNH，即MHN90°，MNMH2NH2322.【对应训练】7如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点，AB6，CD3，求MN的取值范围.解：连接BD，取BD的中点E，连接ME，NE.M是AD的中点，E是BD的中点，ME12AB3.同理可得NE12CD1.5，在MNE中，31.5MN31.5，即1.5MN4.5.