广东省江门一中高二数学上学期开学考试试题含解析
广东省江门一中2020学年高二数学上学期开学考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 已如集合，则A. B. C. 或D.2. 已知向量，若，则实数x的值为A. B. C. D.3. 已知，则A. B. C. D.4. 已知等比数列满足，且，则A. 8B. 16C. 32D. 645. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则6. 过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为A. B. C. D.7. 已知是公差为1的等差数列，为的前n项和，若，则A. B. C. 10D. 128. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是A. ，且，则B. ，且，则C. ，则D. ，则9. 已知的内角A，B，C所对的边分别为，c，且，A. B. C. D.10. 直线与圆的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切11. 已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为A. 27：32B. 3：8C. ：16D. 9：3212. 在R上定义运算：若不等式对任意实数x成立，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13. 函数的定义域为_14. 若，则的最小值为_15. 设，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，若是偶函数，则的最小值为_16. 如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则 17.18.19.20.三、解答题（本大题共4小题）21. 等差数列中，22. 求的通项公式；23. 设，求数列的前n项和24.25.26.27.28.29.30.31. 已知圆C：，直线：，：32. 若，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值33. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程34.35.36.37.38.39.40.41. 如图，正方体切掉三棱锥后形成多面体，过的截面分别交，于点E，F42. 证明：平面；43. 求异面直线与EF所成角的余弦值44. 如图，某城市有一块半径为单位：百米的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处图中阴影部分只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？答案和解析1.【答案】D【解析】解：，故选：D可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】A【解析】解：，即，向量，即，解得，故选：A根据向量垂直和向量数量积的关系，建立方程关系即可得到结论本题主要考查平面向量垂直于向量数量积之间的关系，利用向量坐标的基本运算是解决本题的关键，考查学生的计算能力3.【答案】D【解析】解：由，得到，所以，则故选：D由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合4.【答案】A【解析】解：等比数列满足，且，则，解得，故选：A先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出的值本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题5.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果【解答】解：A，当时，有 故A错误；B 若，则，；， 故B正确；C 若，取，可知，故C错误；D 若，取，可知，故D错误故选：B6.【答案】D【解析】解：两直线：，：的交点为，解得，即；设与平行的直线方程为，则，解得，所求的直线方程为故选：D求出两直线、的交点坐标，再设与平行的直线方程为，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程本题考查了直线方程的应用问题，是基础题7.【答案】B【解析】解：是公差为1的等差数列，解得则故选：B利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.【答案】A【解析】解：对于A，且，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线与垂直，又，得到，又，得到，所以；故A正确；对于B，且，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，则与可能平行；故C错误；对于D，则与可能相交；故D错误；故选：A利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择本题考查了线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是由已知条件，正确运用定理的条件进行判断9.【答案】B【解析】解：，由正弦定理角化边得：，化简得：，又，故选：B对已知等式利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求出角A本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题10.【答案】D【解析】解：表示圆心为，半径，由，得，代入成立，所以点为圆上的定点，所以直线与圆相切或者相交，故选：D求出直线上的定点，判断点与圆的关系，求出即可本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，基础题11.【答案】D【解析】解：取圆锥的轴截面如下图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，结合图形可得，所以，圆锥的高为，所以，圆锥的体积为，因此，圆锥的体积与球的体积之比为故选：D设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案本题考查球体体积的计算，考查圆锥体积的计算，解决本题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考查计算能力，属于中等题12.【答案】C【解析】解：，即任意实数x成立，故，故选：C此题新定义运算：，由题意，再根据，列出不等式，然后把不等式解出来此题是一道新定义的题，要遵守命题人定的规则，另外此题主要还是考查一元二次不等式的解法13.【答案】【解析】解：要使原函数有意义，则：；原函数的定义域为：故答案为：可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域14.【答案】【解析】解：若，则，当且仅当时，取等号，则的最小值为故答案为：利用柯西不等式求出即可本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题15.【答案】【解析】解：因为，所以，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则，又是偶函数，所以，即，又，所以的最小值为，故答案为：由三角函数图象的平移及三角函数的性质得：，又是偶函数，所以，即，又，所以的最小值为，得解本题考查了三角函数图象的平移及三角函数的性质，属中档题16.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，设，则，利用平面向量基本定理，建立方程，求出，即可得出结论【解答】解：设，则，由于，且，解得，故答案为17.【答案】解：设等差数列的公差为d，解得，【解析】由，结合等差数列的通项公式可求，d，进而可求由，利用裂项求和即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18.【答案】解：根据题意，圆C：，其圆心为，半径，点C到直线的距离，则直线被圆C截得的弦长，若直线、，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则直线被圆C截得的弦长，则点C到直线的距离，直线：，即，则；解可得：；根据题意，设，线段AB的中点为M，且，则，又由端点A在圆C上运动，则有，变形可得：；故线段AB的中点M的轨迹方程为【解析】根据题意，由直线与圆的位置关系分析求出圆心C到直线的距离和被圆C所截得的弦长，再求出直线被圆C所截得的弦长与圆心C到直线的距离，列方程求出k的值，根据题意，设，由中点坐标公式可得A的坐标，将A的坐标代入圆C的方程，即可得答案本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于基础题19.【答案】证明：，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面解：由得平面，又平面，平面平面，是异面直线与EF所成的角或所成角的补角，设正方休的棱长为a，则，在中，异面直线与EF所成角的余弦值为【解析】推导出，从而四边形是平行四边形，进而，由此能证明平面推导出，从而是异面直线与EF所成的角或所成角的补角，由此能求出异面直线与EF所成角的余弦值本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy设，则直线AB方程为，即因为AB与圆C：相切，所以，化简得，即，因此，因为，所以，于是又，解得，或，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以AB最小值为，此时答：当A，B两点离道路的交点都为百米时，小道AB最短【解析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系设，求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置本题考查基本不等式在最值问题中的运用，同时考查直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题
