三角形的概念及性质（讲义）（解析版）-中考数学一轮复习讲练测（全国通用）
第16讲 三角形的概念及性质目 录第 1 页 共 119 页一、考情分析二、知识建构考点一 三角形的相关概念题型01 三角形的分类题型02 三角形个数的规律探究问题题型03 三角形的稳定性考点二 三角形的重要线段题型01 画三角形的高、中线、角平分线题型02 已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误题型03 等面积法求三角形的高题型04 利用网格求三角形的面积题型05 与垂心性质有关的计算题型06 根据三角形的中线求长度题型07 根据三角形的中线求面积题型08 判断重心位置题型09 与重心性质有关的计算考点三 三角形的性质题型01 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围题型02 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子题型03 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题题型04 三角形内角和定理的证明题型05 应用三角形内角和定理求角度题型06 三角形内角和与平行线的综合应用题型07 三角形内角和与角平分线的综合应用题型08 三角形折叠中的角度问题题型09 应用三角形内角和定理解决三角板问题题型10 应用三角形内角和定理探究角的数量关系题型11 三角形内角和定理与新定义问题综合题型12 应用三角形外角的性质求角度题型13 三角形的外角性质与角平分线的综合题型14 三角形的外角性质与平行线的综合题型15 应用三角形的外角性质解决折叠问题题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合第 2 页 共 119 页原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司考点要求新课标要求命题预测三角形的相关概念Ø 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性.在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础.所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察.三角形的重要线段三角形的性质Ø 探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.Ø 证明三角形的任意两边之和大于第三边.考点一 三角形的相关概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”.三角形的分类：1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形2）三角形按角分类：三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.1. 三角形的表示方法中“”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排. 即 ABC, ACB等均为同一个三角形.2. 等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形.3. 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.题型01 三角形的分类【例1】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（ ）A钝角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形【答案】D【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可.【详解】解：A、当另外两角为50°和100°时，该三角形为钝角三角形，故此选项不符合题意；B、当另外两角为90°和60°时，该三角形为直角三角形，故此选项不符合题意；C、当另外两角为30°和120°时，该三角形为等腰三角形，故此选项不符合题意；D、等边三角形的每一个内角均为60°，由图可知该三角形有一个内角为30°，故不可能为等边三角形，符合题意.故选：D【点睛】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键.【变式1-1】（2020·河北保定·统考一模）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上都有可能【答案】B【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形【详解】从题中可知，只能看到一个角是钝角所以这个三角形为钝角三角形故选：B【点睛】本题考查了三角形的分类的灵活应用【变式1-2】（2020·吉林长春·统考中考真题）图、图、图均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC要求：（1）在图中画一个钝角三角形，在图中画一个直角三角形，在图中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上【答案】见详解（答案不唯一）【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过3×3正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等【详解】经计算可得下图中：图面积为12；图面积为1；图面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可【变式1-3】（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在8×4的正方形网格中，按ABC的形状要求，分别找出格点C，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积【答案】见解析；S=10；S=252 ；S=12【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可【详解】解：钝角三角形时，如图，BCBD，BC=5，ABC是钝角三角形，根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,S=12BC×BD=12×4×5=10；直角三角形时，如图，取格点F使得BF=4，FC=3，根据勾股定理，得BC=32+42=5，AE=BF=4，EB=FC=3，AEB=BFC=90°，AEBBFC，EAB=FBC，EAB+EBA=90°，FBC+EBA=90°，ABC =90°，ABC是直角三角形，根据勾股定理，得AB=32+42=5，S=12BA×BC=12×5×5 =252；锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，根据勾股定理，得BC=32+42=5，根据直角三角形时的作图，知道ABN=90°，ABCABN，ABC90°AB=BC，ABC是等腰三角形，A=C90°，ABC是锐角三角形，S=12×4×6=12；【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键题型02 三角形个数的规律探究问题【例2】（2023·浙江杭州·模拟预测）若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（ ）A8B18C24D36【答案】C【分析】根据立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能，分别得出所求的不规则三角形的个数【详解】解：如图示：设立方体的边长为a，则在立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能：边长为a，面对角线为2a，体对角线为3a立方体有四条体对角线，先考虑其中的一条如AC1，第三个顶点可以是 B、C、D、A1、B1、 D1中之一，有6个不规则三角形因此所求的不规则三角形的个数是6×4=24故选：C【点睛】此题主要考查了三角形的性质以及立体图形的性质，得出立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能是解决问题的关键【变式2-1】（2020·江西南昌·模拟预测）由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形以下去掉3根的方法正确的是（ ）ADE,GH,MIBGF,EF,MFCGD,EI,MHDAD,AG,GD【答案】C【分析】按照选项依次分析即可求解【详解】解：A去掉DE,GH,MI，如图：图中共有6个三角形，该项不符合题意；B去掉GF,EF,MF，如图：图中共有4个三角形，该项不符合题意；C去掉GD,EI,MH，如图：图中共有7个三角形，该项符合题意；D去掉AD,AG,GD，如图：图中共有9个三角形，该项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形计数，掌握三角形的定义是解题的关键.【变式2-2】阅读下列材料并填空平面上有n个点（n2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线（2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表点的个数可作出直线条数21=S2=2×1233=S3=3×2246=S4=4×32510=S5=5×42nSn=n×n12 (3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n1）种取法，所以一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即Sn=n×n12（4）结论：Sn=n×n12试探究以下几个问题：平面上有n个点（n3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作出 个三角形；当仅有4个点时，可作出 个三角形；当仅有5个点时，可作出 个三角形；（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）点的个数可连成三角形个数345n(3)推理： （4）结论：【答案】（1）1，4，10（2）点的个数可构成三角形个数31=S3=3×2×1644=S4=4×3×26510=S5=5×4×36nSn=n×n1×n26（3
