高中函数解题技巧方法总结(高考)

高中数学函数知识点总结 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 函数定义域求法：l 分式中的分母不为零；l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；l 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。l 正切函数 l 余切函数 l 反三角函数的定义域函数yarcsinx的定义域是 1, 1 ，值域是，函数yarccosx的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ，函数yarctgx的定义域是 R ，值域是.，函数yarcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数y=的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=-2x+5，x-1，2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 13. 反函数存在的条件是什么？ 求反函数的步骤掌握了吗？ （反解x；互换x、y；注明定义域） 14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称 互为反函数的图象关于直线yx对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性； 15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1的关系(2)参照图象：若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）若函数f(x)的图象关于直线xa对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：函数f(x)与f(x)c(c是常数)是同向变化的函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c0时，它们是同向变化的；当c0时，它们是反向变化的。如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。若函数u(x)，x，与函数yF(u)，u()，()或u(),()同向变化，则在，上复合函数yF(x)是递增的；若函数u(x),x，与函数yF(u)，u()，()或u()，()反向变化，则在，上复合函数yF(x)是递减的。（同增异减）若函数yf(x)是严格单调的，则其反函数xf1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减 ）17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 判断函数奇偶性的方法一、 定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.三、 复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟悉周期函数的定义吗？ 函数，T是一个周期。） 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。如： 19. 你掌握常用的图象变换了吗？ 联想点（x,y）,(-x,y) 联想点（x,y）,(x,-y) 联想点（x,y）,(-x,-y) 联想点（x,y）,(y,x) 联想点（x,y）,(2a-x,y) 联想点（x,y）,(2a-x,0) （这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。） 注意如下“翻折”变换： 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k为斜率，b为直线与y轴的交点) 的双曲线。 应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程求闭区间m，n上的最值。 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。 由图象记性质！ （注意底数的限定！） 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） （对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、 代y=x，2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令y=x；求单调性：令x+y=x1 几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 f（x）kx（k0）-f（x±y）f（x）±f（y）2. 幂函数型的抽象函数 f（x）xa-f（xy） f（x）f（y）；f（）3. 指数函数型的抽象函数 f（x）ax- f（xy）f（x）f（y）；f（xy）4. 对数函数型的抽象函数f（x）logax（a>0且a1）-f（x·y）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）5. 三角函数型的抽象函数f（x）tgx- f（xy）f（x）cotx- f（xy）例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）f（x）f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(1) 2求f(x)在区间2,1上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）3；最后脱去函数符号.例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，当0x1时，f（x）0，1.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在0，上的单调性，并给出证明；（3）若a0且f（a1），求a的取值范围.分析：（1）令y1； （2）利用f（x1）f（·x2）f（）f（x2）； （3）0a2.例4设函数f（x）的定义域是（，），满足条件：存在x1x2，使得f（x1）f（x2）；对任何x和y，f（xy）f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；(2)对任意值x，判断f（x）值的符号.分析：（1）令x= y0；（2）令yx0.例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：f（x）>0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明.例6设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（x·y）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范围.分析：（1）利用31×3；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y f（x）的反函数是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）m，f（b）n，则g（m）a，g（n）b，进而mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）.例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）； f（a） 1（a0，a是定义域中的一个数）； 当0x2a时，f（x）0. 试问：（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说