最新高三数学专题复习资料抛物线(DOC 22页)

第七节抛物线考纲下载1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)2了解圆锥曲线的简单应用了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用3理解数形结合思想1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线2抛物线y22px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x22py(p>0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF|x0；若抛物线方程为x22py(p>0)，则|MF|y0.1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By24xCy28x Dy24x解析：选C由抛物线准线方程为x2知p4，且开口向右，故抛物线方程为y28x.2(A.安徽高考)抛物线yx2 的准线方程是()Ay1 By2 Cx1 Dx2解析：选A抛物线yx2的标准方程为x24y，所以其准线方程为y1.3抛物线y2x2的焦点坐标为()A. B(1,0) C. D.解析：选C将抛物线y2x2化成标准方程为x2y，所以2p，而抛物线x2y的焦点在y轴的非负半轴上，所以焦点坐标为.4抛物线的焦点为椭圆1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为_解析：由c2945，得F(，0)，则抛物线方程为y24x.答案：y24x5设抛物线y22px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析：F，则B，2p×1，解得p.B，因此B到该抛物线的准线的距离为.答案： 例1设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值自主解答(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连接AF交曲线于点P，则所求的最小值为|AF|，即为.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.若将本例(2)中的点B坐标改为(3,4)，求|PB|PF|的最小值解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离|PB|PF|BF|2.即|PB|PF|的最小值为2. 方法规律抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径1(A.绍兴模拟)已知动圆过定点F，且与直线x相切，其中p>0，则动圆圆心的轨迹E的方程为_解析：依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x的距离相等，再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y22px.答案：y22px2过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|_.解析：因为抛物线y24x的焦点F(1,0)显然，当AB垂直于x轴时，|AF|3，所以AB的斜率k存在，设AB的方程为yk(x1)，与抛物线y24x联立，消去y得k2x22k2x4xk20，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系得x1x22.又|AF|3x1x11，所以x12，代入k2x22k2x4xk20，得k28，所以x1x2，x2，故|BF|x211.答案： 例2(1)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.(2)抛物线x22py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.自主解答(1)由抛物线y24x，有2p4，p2.其焦点坐标为(1,0)，双曲线x21的渐近线方程为y±x.不妨取其中一条xy0.由点到直线的距离公式有d.(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.答案(1)B(2)61已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2 C4 D2解析：选B依题意，设抛物线方程是y22px(p>0)，则有23，得p2，故抛物线方程是y24x，点M的坐标是(2，±2)，|OM|2.2已知双曲线C1：1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：选D双曲线的渐近线方程为y±x，由于 2，所以，所以双曲线的渐近线方程为y±x.抛物线的焦点坐标为，所以2，则p8，所以抛物线方程为x216y.1直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为中、高档题2直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度：(1)已知抛物线方程及其他条件，求直线方程；(2)证明直线过定点；(3)求线段长度或线段之积(和)的最值；(4)求定值例3(A.浙江高考)已知 ABP的三个顶点在抛物线C：x24y 上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，.(1)若|PF| 3，求点M的坐标；(2)求ABP 面积的最大值自主解答(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|y01，得到y02，所以P(2，2)或P(2，2)由，分别得M或M.(2)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)由得x24kx4m0.于是16k216m>0，x1x24k，x1x24m，所以AB中点M的坐标为(2k,2k2m)由，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)，所以由x4y0得k2m.由>0，k20，得<m.又因为|AB|4，点F(0,1)到直线AB的距离为d.所以SABP4SABF8|m1|.记f(m)3m35m2m1.令f(m)9m210m10，解得m1，m21.可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数又f>f.所以，当m时，f(m)取到最大值，此时k±.所以，ABP面积的最大值为.直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略(1)求直线方程先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可(2)证明直线过定点可依题设条件寻找该直线的方程，可依据方程中的参数及其他条件确定该直线过那个定点(3)求线段长度和线段之积(和)的最值可依据直线与抛物线相交，依据弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离(4)求定值可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到(A.宁波模拟)已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p>0)相交于B，C两点当直线l的斜率是时，.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4，联立消去x，得2y2(8p)y80，y1y2，y1y24，由已知，y24y1，由韦达定理及p>0可得y11，y24，p2，抛物线G的方程为x24y.(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：yk(x4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，由>0得k<4或k>0，x02k，y0k(x04)2k24k，BC中垂线方程为y2k24k(x2k)，b2(k1)2，b>2.故b的取值范围为(2，)课堂归纳通法领悟4个结论直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y22px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：(1)|AB|x1x2p或|AB|(为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2；(3)y1y2p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.· 3个注意点抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程(2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点 前沿热点(十二)与抛物线有关的交汇问题1抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及