2022年高考数学总复习 专题13 推理与证明、新定义分项练习（含解析）

2022年高考数学总复习 专题13 推理与证明、新定义分项练习（含解析）一基础题组1. 【xx上海,理14】已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足(|OQ1|2)(|OR1|2)0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足(|OQ2|2)(|OR2|2)0，依次下去，得到P1，P2，Pn，则_.【答案】【解析】2. (xx上海,理13)某地街道呈现东西、南北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)_为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】（3，3）【解析】设确定的格点为（x,y)，由题意知确定的格点到已知的6个格点路程的和最短，即为x,y分别到6个格点的横.纵坐标距离和最小，6个格点的横坐标由小到大排列为-2,-2,3,3,4,6，所以x=3时到这6个数的距离和最小.同理y=3时，y到6个格点纵坐标距离之和最小.故所求的格点为(3,3).3. 【xx上海,文15】如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点若点、点满足且，则称P优于如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ） B C D【答案】4. 【xx上海,理9】若为非零实数，则下列四个命题都成立： 若，则若，则。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是。5. 【xx上海,理10】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 【答案】36【解析】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨论： 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24个； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个；所以正方体中“正交线面对”共有36个6. 【xx上海,文12】如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是_.【答案】47. 【xx上海,文16】用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵.对第行，记，.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，等于（ ）A3600 B1800 C1080 D720【答案】1080【解析】在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，二能力题组8. 【xx上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分.若实数、满足，则称比远离.（1）若比远离，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.【答案】（1）（2）（3） (3) ，性质：1°f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2°f(x)是周期函数，最小正周期，3°函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ，4°函数f(x)的值域为【点评】本题给人耳目一新的感觉，问题的表述比较陌生，提问方式新颖，考生需要较强的数学理解和化归能力，对考生的综合数学能力要求较高但认真分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉函数与不等式的综合.9. 【xx上海,理16】如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”已知常数0，0，给出下列命题：若0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若0，且0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；若0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 （ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3【答案】D若0，且0，则p与q中有一个为0，另一个不为0， “距离坐标”为（， ）的点可以在直线l1或直线l2上，例如（p，q）=(0，1)，则点M在直线l2上，且到O点距离为1，这样的点有2个，命题正确；若0，则p0，q0，“距离坐标”为（，）的点在两条直线相交而成的四个区域内，这样的点有且仅有4个正确上述命题中，正确命题的个数是3个，选D. 10. 【xx上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点（1） 求向量的坐标；（2） 当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，求以曲线为图象的函数在的解析式；（3）对任意偶数，用表示向量的坐标【答案】（1）（2，4）；（2）；（3）因此，基线C是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当设若当 当时， 。（3）由于，.三拔高题组11. 【xx高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，.（1）验证是以为周期的余弦周期函数；（2）设证明对任意，存在，使得；（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是 “为方程在上有解”，并证明对任意都有.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（2）由于的值域为，所以对任意，都是一个函数值，即有，使得.若，则由单调递增得到，与矛盾，所以.同理可证.故存在使得.（3）若为在上的解，则，且，即为方程在上的解.同理，若为方程在上的解，则为该方程在上的解.以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在，使得，.而是函数的单调区间，.与之前类似地可以证明：是在上的解当且仅当是在上的解.从而在与上的解的个数相同.故，.对于，而，故.类似地，当，时，有.结论成立.【考点定位】新定义问题【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.12. 【xx上海,理22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线. 求证：点被直线分隔；若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线的两侧则可得到所求范围；（3）首先求出轨迹的方程，化简为，过原点的直线中，当斜率存在时设其方程为，然后解方程组，变形为，这个方程有无实数解，直接判断不方便，可转化为判断函数与的图象有无交点，而这可利用函数图象直接判断是开口方向向上的二次函数，是幂函数，其图象一定有交点，因此直线不是的分隔线，过原点的直线还有一条就是，它显然与曲线无交点，又曲线上两点一定在直线两侧，故它是分隔线，结论得证试题解析：（1）由题得，被直线分隔.又对任意的，点和在曲线上，满足，被直线分隔，所以所求的范围是（3）由题得，设，化简得，点的轨迹方程为当过原点的直线斜率存在时，设方程为.联立方程，.令，因为，所以方程有实解，直线与曲线有交点直线不是曲线的分隔线当过原点的直线斜率不存在时，其方程为.显然与曲线没有交点，又曲线上的两点对于直线满足，即点被直线分隔所以直线是分隔线综上所述，仅存在一条直线是的分割线.【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.13. 【xx上海,理23】已知平面上的线段l及点P.任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P，l)(1)求点P(1,1)到线段l：xy30(3x5)的距离d(P，l)；(2)设l是长为2的线段，求点的集合DP|d(P，l)1所表示的图形面积；(3)写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合P|d(P，l1)d(P，l2)，其中l1AB，l2CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分A(1,3)，B(1,0)，C(1,3)，D(1,0)A(1,3)，B(1,0)，C(1,3)，D(1，2)A(0,1)，B(0,0)，C(0,0)，D(2,0)【答案】(1) ; (2) 4;(3)参考解析 (2)不妨设A(1,0)、B(1,0)为l的两个端点，则D为线段l1：y1(|x|1)、线段l2：y1(|x|1)、半圆C1：(x1)2y21(x1)、半圆C2：(x1)2y21(x1)所围成的区域这是因为对P(x，y)，|x|1，则d(P，l)|y|；而对P(x，y)，x1，则；对P(x，y)，x1，则.于是D所表示的图形面积为4.(3)(x，y)|x0(x，y)|x0，y0(x，y)|y24x，2y0(x，y)|xy10，x1(x，y)|x0，y0(x，y)|yx,0x1(x，y)|，1x2(x，y)|4x2y30，x2