应用万有引力定律解题时易混淆的几个问题

应用万有引力定律解题时应注意的几个问题枣阳二中 王胜万有引力定律揭示了自然界中任何物体间普遍存在的一种基本规律。在应用万有引力定律解答天体运动问题时，不少学生对基本规律的认识不足而不能很好地应用定律解决问题。在这里我把几个易混淆的问题进行梳理区分，以供参考。1.天体半径R和卫星的轨道半径r如图1所示，若把天体看成球体，天体的半径R就是球体的半径R。而卫星的轨道半径r是卫星绕该天体做圆周运动的圆半径。一般情况下，r>R。当卫星贴近天体表面运行时，可以近似认为R=r。 【例1】 宇宙飞船为了探测某一星球，便贴近该星球表面飞行。若飞船沿圆形轨道匀速绕行一周所用的时间为T，试求该星球的平均密度。解析 ：设星球质量为M,星球半径为R，星球的平均密度为 ，飞船质量为m ，到星球中心的距离为r。 =mr (1) rM= (2) RR=r (3)联立以上各式，得2.天体的公转周期和自转周期公转周期是指天体围绕某一中心（或者中心天体）做圆周运动一周所需的时间。自转周期是指天体绕自身转轴转动一周所需时间。一般情况下，自转周期和公转周期不相等。比如，地球的自转周期为24小时，而公转周期为1年。不过也有自转周期和公转周期相等的天体，例如月球的自转周期就等于它绕地球运动的公转周期，所以月球总以同一面朝向地球。【例2】假设地球自转速度达到使赤道上的物体“飘”起，估算一下地球上一天等于多少小时？若要使地球的一个半面始终朝着太阳，另一个面始终背着太阳，地球自转的周期应等于多少天？（地球赤道半径R取6.4106m,g取10m/s）解析 设地球的质量为M，赤道上一个物体的质量为m,若赤道上的物体完全失重， 设地球自转周期为T，万有引力完全提供向心力，则 (1) (2)联立两式代人数据，得 T=5024s=1.4h若地球的一个半面始终朝着太阳，则自转周期和公转周期相等，为365天。3.地球表面处的重力加速度g和高空处的重力加速度g以及卫星在轨道处的向心加速度a如果物体不绕地球公转，万有引力等于重力，重力加速度g=（r=R+H）只是离地面越高,H越大，g值越小。如果物体绕地球公转，万有引力等于向心力，向心加速度a=，r越大a越小,计算时与g无关（近地卫星忽略离地高度时除外）。【例3】在地球某处海平面上测得物体自由下落的高度h,所需的时间为t。到某高山顶测得物体自由下落同样高度所需的时间增加了。已知地球半径为R，试求 高山的高度H。解析 在海平面，g=自由落体时间t=，在高山顶，g=，自由落体时间t+=，所以，所以H=4.赤道上随行物的向心加速度a和地面上的重力加速度g处于赤道上的物体随地球自转时受两个力作用，即地球对它的引力和地面对它的支持力。二者合力提供物体做圆周运动的向心力，即，a=，远小于地面上的重力加速度g= ，在近似计算中可忽略自转影响。认为物体的重力等于它受到的万有引力。【例4】地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的（ ）A倍 B.倍 C.倍 D.倍解析 因为转速n与角速度成正比，设赤道上的质量为m的物体恰好离开地球时成为地球的同步卫星，此时角速度为，则有F=mR(R为地球半径)，（1）原来的角速度为，F=mg+ma (2 ) a= (3)联立各式，得 =，则B正确。5.连续物和卫星群连续物是指和天体连在一起的物体，它和天体自转角速度相同，其线速度v与r成反比。而卫星绕天体运行时，其线速度v=，v与r的平方根成反比。【例5】据观察，在土星外围有一个模糊不清的圆环，为了判断该圆环是与土星相连的连续物，还是绕土星运转的小卫星群，测出了环中各层的线速度v以及该层到土星中心的距离R，进而得出v与R的关系。下列判断正确的是（）A若v与R成正比，则此环是连续物B若v与R成反比，则此环是小卫星群C若v与R成反比，则此环是小卫星群D若v与R成反比，则此环是连续物解析 连续物的v与R成正比，卫星群的v2与R成反比，AC正确。6.同步卫星和一般卫星地球的同步卫星是指与地面相对静止且绕地球运行的公转周期与地球自转周期相同的卫星，它必须安放在赤道的正上方，轨道半径r=4.2km,离地高度是一个特定值。线速度也是特定值，其绕行方向与地球自转方向相同。一般卫星的运动也是由地球引力提供向心力绕地球做匀速圆周运动，虽然轨道可以是任意的，但轨道平面必须过地心。它的周期和线速度可以比同步卫星的大，也可以比同步卫星小。【例6】可以发射这样的人造卫星，使其圆轨道（ ）A. 与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆B. 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C. 与地球表面上的赤道线是是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D. 与地球表面上的赤道线是是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的 解析 若卫星某时刻是绕地球的某一纬线圈做匀速圆周运动，则卫星所受的合外力全部提供向心力，且指向圆心（该纬线圈得圆心），但此时卫星的合外力由指向地心的万有引力提供，其中的一个分力提供卫星做圆周运动的向心力，另一个分力会使卫星偏离该纬线圈，即卫星不可能始终绕该纬线圈做匀速圆周运动。A错。由于地球的自转，卫星不可能始终与某一经线圈共面做匀速圆周运动，B错。C项指同步卫星，CD正确。7.卫星的稳定运行和变轨道运动若卫星稳定运行，则根据，可得卫星的稳定运行速率。可知当卫星稳定运行时，轨道半径越大，环绕地球的线速度就越小。变轨道运动：当卫星由于某种原因瞬时速度增大时，该位置上万有引力不足以提供需要的向心力，卫星就做离心运动，在较高轨道上稳定运行后的速率就小于之前的运行速率。当瞬时速度减小时，该位置上万有引力大与需要的向心力，就做近心运动，在较低轨道上稳定运行后的速率就大于之前的运行速率。【例7】宇宙飞船在半径为R的轨道上运行，变轨后的半径为R，R<R。宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，则变轨后宇宙飞船的（ ）A.线速度变小 B.角速度变小 C.周期变大 D.向心加速度变大解析 两种情况都是稳定运行，只是半径不同，由开普勒第三定律知道，离地球越远周期越大，转得越慢，则线速度和角速度变小，向心加速度也会变小，D正确。若万有引力定律推导,知R减小时，v增大，增大，T减小，a=增大,故D正确。8卫星的发射速度和环绕速度环绕速度是指卫星绕地球稳定运行时的线速度。发射速度是指发射卫星过程中燃料燃烧完毕时火箭具有的速度，之后火箭带着卫星依靠惯性继续上升，达到指定高度h后再星箭分离，分离后的卫星以环绕速度v绕地球运动。发射速度越大，卫星离地就越高，离地心越远，即稳定运行时轨道半径r越大，由知环绕速度v越小。所以第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，此速度时卫星在近地轨道，离地最近，该速度也是最小的发射速度。【例8】下列说法正确的是（ ）A. 第一宇宙速度是从地面上发射的人造地球卫星的最小发射速度B. 第一宇宙速度是在地球表面附近环绕地球运转的卫星的最大速度C. 第一宇宙速度是同步卫星的环绕速度D. 卫星从地面发射时的发射速度越大，则卫星距地面的高度就越大，其环绕速度则可能大于第一宇宙速度解析 第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运转的最大速度，离地越高，卫星绕地球运行的速度越小。所以AB正确。