全等三角形证明中考题精选(有答案)

新人教版八年级上学期全等三角形证明题一.解答题（共10小题）1 .（泉州）如图，已知AD是4ABC的中线，分别过点B、C作BEXAD于点E,CFXAD交AD的延长线于点F,求证：BE=CF.2 .（河南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/C=90°,/B=/E=30°.（1）操作发现如图2,固定4ABC,使4DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是;设4BDC的面积为S1,AAEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是国1匣2圄2E图4（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了4BDC和4AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知/ABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE/AB交BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F,使SAdcf=Szbde,请直接写出相应的BF的长.3 .(大庆)如图，把一个直角三角形ACB(/ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H.(1)求证：CF=DG;(2)求出ZFHG的度数.甲：AB : AC=AD 乙：AB : AC=AD 丙：AB : AC=AD4 .(阜新)(1)如图，在4ABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=90°.当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图1中的4ADE绕点A顺时针旋转a角(0°V“V90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.(2)当4ABC和4ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立？不必说明理由.AE=1,/BAC=/DAE为0°AE力，/BAC=/DAE=90°AEW1,/BAC=/DAE为0°.5 .(仙桃)如图所示，在4ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE/BC,如图，然后将4ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=1BD,EN=1CE,得到图，请解答下列问题：(1)若AB=AC,请探究下列数量关系：在图中，BD与CE的数量关系是;在图中，猜想AM与AN的数量关系、/MAN与/BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=k?AC(k>1),按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与AN的数量关系、/MAN与/BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.6 .（四川）CD经过/BCA顶点C的一条直线，CA=CB.巳F分别是直线CD上两点，且/BEC=/CFA=/a.（1）若直线CD经过/BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1,若/BCA=90°,/«=90°,则BECF;EF|BEAF|（填法"，之"或="）；如图2,若0°V/BCA<180°,请添加一个关于/a与/BCA关系的条件,使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.（2）如图3,若直线CD经过/BCA的外部，/a=/BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）.7.（绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1,己知四边形ABCD中，AC平分/DAB,/DAB=60°,/B与/D互补，求证：AB+AD=JAC.小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.（1）特殊情况入手添加条件：ZB=/D”，如图2,可证AB+AD=J&AC;（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F.（请你补全证明）8.（常德）如图，已知 AB=AC ,（1）若 CE=BD ,求证：GE=GD ;（2）若CE=m?BD （m为正数），试猜想GE与GD有何关系.（只写结论，不证明）£G9.(泰安)(1)已知：如图，在4AOB和ACOD中，OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=60°,求证：AC=BD;/APB=60度；(2)如图，在4AOB和ACOD中，若OA=OB,OC=OD,/AOB=ZCOD="则AC与BD间的等量关系式为；/APB的大小为；(3)如图,在4AOB和403口中，若OA=k?OB,OC=k?OD(k>1),/AOB=/COD=a,则AC与BD间的等量关系式为;/APB的大小为10.（南宁）（A类）如图，DEAB、DFXAC.垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）AB=AC;BD=CD;BE=CF已知：DEAB、DFXAC,垂足分别为E、F,AB=AC,BD=CD求证：BE=CFA已知：DELAB、DFXAC,垂足分别为E、F,AB=AC,BE=CF/求证：BD=CDJ已知：DEAB、DFXAC,垂足分别为E、F,BD=CD,BE=CF/vX.c目c求证：AB=AC（B类）如图，EG/AF,请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）.AB=AC;DE=DF;BE=CF已知：EG/AF,AB=AC,DE=DF1求证：BE=CF/新人教版八年级上学期全等三角形证明题参考答案与试题解析一.解答题（共10小题）1.（泉州）如图，已知AD是4ABC的中线，分别过点B、C作BEXAD于点E,CFXAD交AD的延长线于点F,求证：BE=CF.考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：根据中线的定义可得BD=CD,然后利用角角边”证明4BDE和4CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证.解答：证明：AD是4ABC的中线，BD=CD,BEXAD,CFXAD,/BED=/CFD=90°,在BDE和CDF中，NEED=NCFD=90“ZBDE=ZCDF,BD=CDBDEACDF（AAS）,BE=CF.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.2.（河南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中ZC=90°,/B=/E=30°.（1）操作发现如图2,固定4ABC,使4DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是DE/AC;设4BDC的面积为S1,AAEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S2.(2)猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中Si与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了4BDC和4AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知/ABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE/AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使Sadcf=Szbde,请直接写出相应的BF的长.考点：全等三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：(1)根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出4ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得/ACD=60°,然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=1ab,然后求出AC=BE,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC2的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出/ACN=/DCM,然后利用角角边”证明4ACN和4DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；(3)过点D作DF1/BE,求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1,然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2LBD,求出/F1DF2=60°,从而得到DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2,再求出/CDF1=/CDF2,利用边角边”证明CDF1和4CDF2全等，根据全等三角形白面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰BDE中求出BE的长，即可得解.解答：解：(1):DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，AC=CD,/BAC=90-/B=90-30=60°,.AACD是等边三角形，/ACD=60°,又ZCDE=/BAC=60°,/ACD=/CDE,DE/AC;CD=AC=ZB=30°,ZC=90°,TjAB,BD=AD=AC,根据等边三角形的性质，AACD的边AC、AD上的高相等，.BDC的面积和/AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)即Si=S2；故答案为：DE/AC;Si=S2；(2)如图，DEC是由4ABC绕点C旋转得到，BC=CE,AC=CD,/ACN+/BCN=90°,ZDCM+/BCN=180-90=90°,/ACN=/DCM,在4ACN和4DCM中，ZCND=ZN=90°,AC=CDAACNADCM(AAS),AN=DM,.BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)即Si=S2；(3)如图，过点D作DFi/BE,易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等，此时SADCF=SABDE,过点D作DF2LBD, /ABC=60°,/F1DF2=ZABC=60°, .DF1F2是等边三角形，DF1=DF2,BD=CD,/ABC=60。，点D是角平分线上一点，/DBC=/DCB=4>60°=30°, /CDF1=180-30=150°,/CDF2=360-150-60=150°,/CDF1=ZCDF2, 在4CDF1和4CDF2中，二吗“ZCEFZCDFlcd=cd ACDF1ACDF2(SAS),，点F2也是所求的点, /ABC=60。，点D是角平分线上一点，DE/AB,/DBC=/BDE=ZABD=->60°=30°,2又BD=4, BE=-j>4cos300=2y=p,-BF1=BF2=BF1+F1F2=j2j+4仆=，禽,3333故BF的长为更或辿.33点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，(3)要注意符合条件的点F有两个.3.(大庆)如图，把一个直角三角形 AB边上的一点D,点A旋转到点 于点H.使得点C旋转到延长CF与DG交ACB(/ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG,(1)求证：CF=D