概率与数理统计课件数理统计

第六章 数理统计第一节 引言本章转入课程的第二部分数理统计数理统计的特点是应用面广，分支 较多. 社会的发展不断向统计提出新的 问题.计算机的诞生与发展，为数据处理提供了强有力的技术支持，数理统计与 计算机的结合是必然的发展趋势.学习统计无须把过多时间化在计算上，可以更有效地把时间用在基本概念、方法 原理的正确理解上. 国内外著名的统计软 件包： SAS，SPSS，MATLAB, STAT等，都可以让你快速、简便地进行数据处理和 分析.从历史的典籍中，人们不难发现许 多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的 记载，说明人们很早就开始了统计的工 作 . 但是当时的统计，只是对有关事实 的简单记录和整理，而没有在一定理论 的指导下，作出超越这些数据范围之外 的推断.到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正 诞生了数理统计学这门学科.数理统计学是一门应用性很强的学 科. 它是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机性的数据，以便对 所考察的问题作出推断和预测，直至为 采取一定的决策和行动提供依据和建议.数理统计不同于一般的资料统计，它 更侧重于应用随机现象本身的规律性进行 资料的收集、整理和分析.由于大量随机现象必然呈现出它的规 律性，因而从理论上讲，只要对随机现象 进行足够多次观察，被研究的随机现象的 规律性一定能清楚地呈现出来. 只允许我们对随机现象进行次数不多的观 察试验，也就是说, 我们获得的只是局部 观察资料.但客观上数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的有限的资 料，对所研究的问题, 尽可能地作出精 确而可靠的结论.现实世界中存在着形形色色的数据,分 析这些数据需要多种多样的方法.因此,数理统计中的方法和支持这些方 法的相应理论是相当丰富的.概括起来可以 归纳成两大类: ¶ 参数估计根据数据,用一些方法对 分布的未知参数进行估计. · 假设检验根据数据,用一些方法对 分布的未知参数进行检验.它们构成了统计推断的两种基本形式. 这两种推断渗透到了数理统计的每个分支.第六章第二节总体与样本在统计学中,将我们研究的问题所涉及的 对象的全体称为总体,而把总体中的每个成员 称为个体.例如:我们想要研究一家工厂的某种产品 的废品率.这种产品的全体就是我们的总体,而 每件产品则是个体.一、总体实际上,我们真正关心的并不是总 体或个体的本身,而是其某项数量指标.比如某家工厂的一种产品的使用寿命这样 一项数量指标. 因此,我们应该把总体理解 为那些研究对象上的某项数量指标的全体.为了评价一家工厂的某种产品的质量的好 坏,通常的做法是从它的全部产品中随机地抽 取一些样品,在统计学上称为样本.同上道理,我们实际是把样本理解为样品上 的数量指标.因此,今后当我们说到总体和样本时,既指 研究对象又指它们的某项数量指标.说明研究某地区N个农户的年收人.在这里,总体既指这N个农户,又指我们关 心的数量指标他们的年收入的N个数字.如果我们从这N个农户中随机地抽出n个农 户作为调查对象,那么,这n个农户以及我们关 心的数量指标他们的年收入这n个数字就 是样本.在上面的例子中,总体是很直观的,是 看得见摸得着的.但是客观情况并不总是这样.例1 注意用一把尺子去量一个物体的长度.假定n次测量值为X1,X2 , ,Xn 显然, 在这个问题中,我们把测量值 X1,X2 , ,Xn看成了样本,但是,总体是什么呢?例2 事实上,这里没有一个现实存在的个 体的集合可以作为我们的总体.可是,我们 可以这样考虑,既然n个测量值 X1,X2 , ,Xn是样本,那么总体就应该理解为一切所 有可能的测量值的全体.分析:这种类型的总体的例子不胜枚举.例如:为研究某种安眠药的药效,让n个 病人同时服用此药,记录下他们各自服药后 的睡眠时间比未服药时延长的小时数.X1,X2 , ,Xn这些数字就是样本.什么是总体呢?设想让某个地区或某个国家,甚至全世 界所有患失眠症的病人都服用此药,他们所 增加的睡眠时间的小时数的全体,就是该问 题中的总体.对一个总体,如果我们用X表示它的数量 指标,那么X的值对不同的个体取不同的值.因 此,如果我们随机地抽取个体,则X的值也就随 着抽取的个体的不同而不同.所以X是一个随机变量!既然总体是随机变量X,自然就有其概率 分布.我们把X的分布称为总体的分布.总体的特性是由总体分布来刻画的.因此,我们常把总体和总体分布视为同义 语.二、总体的分布例l中，若农户年收入以万元计, 假定N户中收入X为以下几种取值:0.5,0.8,l,1.2和1.5.取这些值的农户个数分别为：n1,n2, n3,n4,n5,(这里n1+n2+n3+n4+n5=N).则总体X的分布为离散型分布,其分布律 为:例3(例l续)例2中,假定物体的真正长度为 (未知). 一般说来测量值X,也就是我们的总体,取附 近值的概率要大一些,而离愈远的值被取到 的概率就小一些.如果测量过程没有系统性误差,那么X取 大于和小于的概率也会相等.在这样的情况下,人们往往认为X服从均 值为的正态分布.假定其方差为2,则2反映了测量的精度. 于是,总体X的分布为N(,2).记为XN(,2).例4(例2续)这里有一个问题,即物体长度的测量值 总是在它的真正长度的附近,它根本不可能取 到负值.而正态变量取值在(-,+)上,那么怎么 可以认为测量值X服从正态分布呢?理由是：在前面讲过,对于XN(,2). P-32 t分布的密度函数关于x=0对称Ttn,对于(0,1)给定,称满足条件:t分布的分位点的点tn()为t分布的上分位点.t分布的上 分位点图形如 右图.t分布的上分位 点可以查附表 3(P242).三、F分布定义: 设 X与Y相互独 立，则称统计量服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第 一自由度，n2称为第二自由度，记作 F .由定义可见，若X ， X的概率密度为请看演示F分布注：设X , 则 FFm,n,对于(0,1)给定,称满足条件:F分布的分位点的点Fm,n()为F分布的上分位点. 如右图. F分布的上分位点 可以查附表(P247).Fm,n(1-)=四基本定理 设X1,X2,Xn是取自正态总体 的样本，则有（1）等价地假设某物体的实际重量为,但它是 未知的.现在用一架天平去称它,共称了n次,得 到X1,X2 , ,Xn.假设每次称量过程彼此独立且没有系统 误差,则可以认为这些测量值都服从正态分布 N(,2), 方差2反映了天平及测量过程的总 精度.通常我们用样本均值根据基本定理,例1例如=0.1时,若取n=10.则:下面讨论估计值,即样本均值与真值的偏差.于是根据第二章讲过:随着称量次数n的增加,这个偏差界限还是=0.1时,若取n=100.则:越来越小.在设计导弹发射装置时,重要事情之一是 研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标 中心的距离服从正态分布N( , 2),这里 2=100米2.现在进行了25次发射试验,用S2记这25次 试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方 差.求:S2超过50米2的概率. 例2根据基本定理查P244附表4,得到:解:本章小结一、总体，样本，样本的分布二、 统计量及其分布1. 几个常见统计量 2. 统计三大分布样本均值, 样本方差,样本k阶原点矩, 样本k阶 中心矩分布,t 分布,F分布3. 样本均值样本方差相关分布 设X1,X2,Xn是取自正态总体的样本, 则