强大导数知识点各种题型归纳方法总结

导数的基础知识一导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；取极限得导数：（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：； ； 法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法则3：(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数的导数求法：换元，令，则分别求导再相乘回代题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、已知，则 2、若，则 3.=ax3+3x2+2 ，则a=（）三导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，即有。2.Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。四导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0五函数的单调性：设函数在某个区间内可导，（1）该区间内为增函数； （2）该区间内为减函数；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：步骤： （1）求导数 (2)判断导函数在区间上的符号(3)下结论该区间内为增函数； 该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为：（1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以例题若函数，若则( ) A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c六、函数的极值与其导数的关系：1.极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。求极值的步骤：第一步：求导数；第二步：求方程的所有实根；第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，若的符号由正变负，则是极大值；若的符号由负变正，则是极小值；若的符号不变，则不是极值，不是极值点。2、函数的最值：最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。求可导函数在闭区间上的最值方法：第一步；求在区间内的极值；第二步：比较的极值与、的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。2函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)0。但是，f/(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数 原函数 的符号 单调性 与x轴的交点且交点两侧异号 极值 的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势 （的图象的增减幅度） 的增 的每一点的切线斜率增大（的图象的变化幅度快） 减 的每一点的切线斜率减小 （的图象的变化幅度慢）例1. 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：=ex-a.（1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.若a>0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).（2）f（x）在R内单调递增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex>0，a0.（3） 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.=0,即e0-a=0,a=1.例2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8单调递增13单调递减单调递增4 y=f（x）在-3，1上的最大值为13，最小值为例3.当 ，证明不等式.证明：，则，当时。在内是增函数，即，又，当时，在内是减函数，即，因此，当时，不等式成立.点评：由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.七定积分求值1定积分的概念 设函数在区间上连续，则2.用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：3.曲边图形面积：；在轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程； 变力做功 4定积分的性质性质1 （其中k是不为0的常数） 性质2 性质3 （定积分对积分区间的可加性）5.定理 函数是上的一个原函数，即则导数各种题型方法总结（一）关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在（二）分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。（三）同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数 得 （1） 在区间上为“凸函数”，则 在区间0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 解法二：分离变量法： 当时, 恒成立, 当时, 恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时 恒成立 变更主元法 再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）-22 例2：设函数 （）求函数f（x）的单调区间和极值； （）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围. （二次函数区间最值的例子）解：（） 3aaa3a令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（，a）和（3a，+）当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b. （）由|a，得：对任意的恒成立则等价于这个二次函数 的对称轴 （放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数. （9分）于是，对任意，不等式恒成立，等价于 又点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，（）求的值；（）当时，求的值域；（）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。解：（），