教材分析立体几何初步

第 1 章 立体几何初步 立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科， 而三维空间是人们生存发展的现实空间所以 , 学习立体几何对我们认识、理解 现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义 立体几何初步一章，是在义 务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显普通高中 数学课程标准（以下简称课程标准 ）对立体几何的教学要求 , 通过直观感知、 操作确认、 思辩论证、度量计算等方法， 以帮助学生实现逐步形成空间想像能力 这一教学目的一、课程标准关于立体几何初步的表述及教学要求1表述： 课程标准指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系 的数学学科人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认 识和探索几何图形及其性质三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形， 培养和发展学生的空间想像能力、 推理论证能力、 运用图形语言进行交流的能力 以及几何直观能力， 是高中阶段数学必修系列课程的基本要求 在立体几何初 步部分 ,学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方 体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系 ;能用数学语言表述有关 平行、垂直的性质与判定， 并对某些结论进行论证 学生还将了解一些简单几何 体的表面积与体积的计算方法2教学要求：2。1 空间几何体（1）利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及 其简单组合体的结构特征 , 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会使用材料 （如纸板）制作模 型，会用斜二侧画法画出它们的直观图（3）通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图， 了解空间图形的不同表示形式4）完成实习作业 , 如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的 基础上，尺寸、线条等不作严格要求） （5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公 式）2。2 点、线、面之间的位置关系（1）借助长方体模型， 在直观认识和理解空间点、 线、面的位置关系的基础上， 抽象出空间线、面位置关系的定义 ,并了解如下可作为推理依据的公理和定理：公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点 的集合是经过这个公共点的一条直线.公理 3:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么 这两个角相等.（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确 认、思辩论证 ,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.通过直观感知、操作确认 ,归纳出以下判定定理 :如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么该直线与这个平 面平行.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平 行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 通过直观感知 ,操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线就和交线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ,那么所得的两条交线平行.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 那么它页垂直于另一个 平面.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于 另一个平面.（3）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、对比课程标准与教学大纲，在要求上的主要变化1。对于“空间几何体”：教学大纲要求：了解概念，掌握性质；课程标准则要求：认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征.课程标准把重点放在了空间想像能力上，对概念、性质则降低了要求.2。对于“点、线、面之间的位置关系”：课程标准把重点放在了定性研究（平行和垂直）上，定量研究（角和距离）在必修中不作要求（移到选修中），对线、面垂直的判定定理不证明，移到空间向量中再证.分段设计，分层递 进.3. 对知识发生的过程提出了较高 的要求：多处使用了“观察”、“认识”、“画出”、“直观感知、操作确认， 归纳”等情感、态度与价值要求的行 为动词.对空间几何体的要求是直观 感知；对线、面关系则要求操作确认、 思辨论证；对判定定理的要求是操作 确认、合情推理；对性质定理则要求 思辨论证、逻辑推理.4. 不要求用反证法证明简单的问 题.三、新课程教材和大纲教材处理札锥.台、球空间几何体1中心投彭与平冇投繆直观图画法点、线*面之间的关系AV甲简的思本性鹿空间两条直线的位置关系直线与平面的位置关系半面与平面的位置关系柱锥、台、球的表面积与体积空间囲形的展开图；桂、锥、宅、球的棒积平面的基本性质空间直线和平面.空间两条直线的位置关系 A直钱与半面的位辰关系I平面与平而的位匠关系V核柱1简单几何休披休1直观禺,球一概念与性质图2|体积与表面积的变化与以往高中数学课程中的立体几何相比，立体几何教材处理的变化主要表现 在几何定位 ,几何内容处理方式，几何内容的分层设计以及几何内容的增减等方 面1. 定位：定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直观能 力、逻辑推理能力等 . 强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理 化思想2。内容处理与呈现：按照从整体到局部的方式展开：柱、锥、台、球-点、 线、面一侧面积、表面积与体积的计算（如图1）,而原教材是点、线、面一柱、 锥、台、球，即从局部到整体 （ 如图 2），突出直观感知、操作确认，并结合简 单的推理发现、论证一些几何性质3。内容设计：螺旋上升，分层递进 , 逐步到位。在必修课程中，主要是通 过直观感知、操作确认 , 获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一 些几何性质。进一步的论证与度量则放在选修 2 中用向量处理 .教材在内容的设 计上不是以论证几何为主线展开几何内容， 而是先使学生在特殊情境下通过直观 感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此 基础上进一步通过直观感知、 操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判 定定理和性质定理， 并对性质定理加以逻辑证明 .不是不要证明， 而是完善过程， 既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力4。教学内容增减 :删除（或在选修课内体现的 ）：（1）异面直线所成的角的计算 .（2）直线与平面所成角的计算 .（ 3）三垂线定理及其逆定理 .（4）二面角及其平面角的计算 .（ 5）多面体及欧拉公式。（6）原教材中有 4 个公理,4 个推论， 14 个定理（都需证明 ）（ 不包含以例题 出现的定理） . 新教材中有 4 个公理， 9 个定理（ 4 个需证明）增加：（7）简单空间图形的三视图专设“空间几何体的三视图和直观图” 这一节, 重点在于培养空间想像能力（8）台体的表面积和体积等内容.立体几何内容采用上述处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解, 培养学生对几何内容的兴趣，克服以往几何学习中易造成的学生两极分化的弊 端.四、江苏省数学学科关于立体几何初步的教学建议§ 1.1空间几何体（4课时）基本要求发展要求说明1 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特1.能用运动的观点整1 .柱、锥、台、征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体体认知柱、锥、台、球的结构特征只的结构，了解柱、锥、台、球的概念.球.须通过实例概2 了解画立体图形三视图的原理，并能画出简单2.通过本节学习，进括，不必证明.几何图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的一步体会观察、比较、2 .空间几何体的简易组合）的三视图.能识别上述的三视图表示的归纳、分析等一般科性质不必深入挖立体模型，会用斜二测法画出立体图形的直观图.学方法的运用.掘.重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台、球的结构特征, 会用斜二测画法画空间几何体的直观图.难点：如何让学生概括柱、锥、台、球的结构特征.教学建议：1 新课标在几何教学中强调几何学习的直观性，强调实物、模型对几何学习 的作用.因此对柱、锥、台、球的学习需要从实物图形的感知出发，抽象出其本质特征，来建立多面体、旋转体的概念，进一步研究它们的结构和分类.课外可 让学生动手做一做，更直接的感受空间几何图形的特征.如建议学生用纸板或游 戏棒或细铁丝（作骨架）做出下列几何体的模型：（1）正方体；（2）长方体；（3）三棱锥；（4）四棱锥；（5）三棱台.学 生通过动手做，亲身体验柱、锥、台的结构特征，必会帮助学生逐步形成空间想 像能力.2. 用斜二测画法画直观图，关键是掌握画水平放置的平面图形 ，它是画空间 几何体直观图的基础.而水平放置的平面图形的画法可以归结为确定点的位置的 画法.在平面上确定点的位置我们可以借助直角坐标系来完成，因此画水平放置的直角坐标系是学生首先要掌握的方法.通过例题的教学使学生明确画直观图的 基本要求.3. 关于“三视图"的一些补充说明：（1）画三视图容易忽视的问题 不给出“正方向”，把想当然的“正方向”看作是规定的“正方向”.如某中考题：F面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）圆柱A. 1个.2个.3个正方体D. 4个严格意义上来说，该题（属开放性问题）是没有答案的，因为你没有给出正 方向，所以不知左视图为何形. 视图中缺少应有的线段，尤其是缺少该用虚线描绘的不可见的物体轮廓线、分界线和棱.如常将四棱锥 S ABCD的三视图作成图（10）而非图（11）， 即俯视图中缺少棱SC. 主视图、左视图和俯视图的大小不符合“长对正、高平齐、宽相等”的要 求.（2 ）江苏省高考关于“三视图”要求的变化：2008、2009年江苏省高考数学学科考试说明中，将“三视图与直观图”定为A级要求，即仅作了解，而从2010年起，则将“三视图与直观图”不作要求.§ 1. 2点、线、面之间的位置关系（10课时）基本要求发展要求说明1了解平面的概念，掌握平面的画法及表示了解平面1.会进行文字语言1 有关的基本性质，即公理1、2、3及其推论1、推论2和推论"“符号语言”“图判定定3, 了解平行公理（即公理 4）与等角定理.形语言”之间的转理的证2了解异面直线的定义，会说明两条直线是异面直线，化.明不作并能正确画出两条异面直线，在画图过程中感知两条异2.在引导学生观察、要求.面直线所成的角.比较、抽象、类比得2.有关3.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行、出空间点、线、面位角与距垂直以及两平面的平行、垂直的判疋疋理.置关系的过程中，努离不作4通过直观感知、操作确认，归纳并能证明出直线与平力浸透数学思想与辩计算要面平行、垂直以及两平面的平行、垂直的性