《平行线等分线段定理》教学设计
平行线等分线段定理教学设计执教 李裕达【教学内容】人教版初中几何第二册§4.9平行线等分线段定理（课本P176 P178）【教学目标】1识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形； 2能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3培养学生化归的思想、运动联系的观点。【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用【教学难点】平行线等分线段定理的证明【教学方法】引导·探究·发现法【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等【教学设计】一、实际问题，导入新课 1问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？ABCDNMBCDNPEGF2折法：（教师演示，学生动手） ·先将矩形（ABCD）纸对折， 得折痕MN（如图1）； ·再把B点叠在折痕MN上， 得到RtBEP（如图2）； ·最后沿EP折叠，便可得到 （如图1） 等边BEF（如图2）。 （如图2）3导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。二、复习引导，发现定理 1复习提问 （1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？ （2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？ 师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。 2操作实验请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。3引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？ 猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 4验证猜想 教师用几何画板验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。三、归纳探究，证明定理（图1） 1归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？ 已知：直线a / b / c，AB = BC（如图1） 求证：A'B' = B'C'。2探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？ （2）四边形ACC'A' 是什么四边形？ （3）在梯形中常作什么样的辅助线？（图2）DE3证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。 证法一：（略）参见课本P176的证法。证法二：过A'、B' 点作AC的平行线，分别交直线b、c平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 于D、E（如图2）。（以下证明略）注1 结论与直线A'C' 的位置无关；注2 对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。 4定理： 推理形式：a / b / c，AB = BC， A'B' = B'C'。四、图形变式，引出推论 1隐线变式，得推论1在图1中，隐藏直线a、b、c，得梯形ACC'A'（如图3）。这时定理的条件、结论各是什么？条件：在梯形ACC'A'中，AB=BC，AA' / BB' / CC'。 结论：A'B' = B'C'。推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。 （图3） （图4） （图5） （图6） 2运动变式，得推论2既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线A'C' 平行向左移动，得到变式图形4。这时定理在ACC' 中的条件、结论各是什么？条件：在ACC' 中，BB' /CC'，AB=BC。 结论：A'B' = B'C'。推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3变换图形，深化理解如果将直线A'C' 继续向左平行移动（如图5、6），这时定理的条件、结论有什么变化？五、运用新知，解决问题 1应用定理，等分线段 （1）已知线段AB，你能它三等分吗？依据是什么？ （图7） 已知：线段AB（如图7）。 求作：线段AB的三等分点。 作法：（略。见图8） （师生同步完成作图过程） 注作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。 （2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？ （图8） 2应用推论，分解图形例1已知：如图9，在ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点， CM、AM分别交BD于E、F。 求证：BE = EF = FD。 分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？ （图9） （2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？ 证明：（略。过程由学生自己完成）例2已知：如图10，ABCD的对角线AC、BD交于点O， 过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线，垂足 分别为A'、B'、C'、D'、O'。 求证：A'D' = B'C'。 分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？ （图10） （2）在直线a上，有哪些线段是相等的？根据是什么？ 证明：（略。过程由学生自己完成） 思考：若去掉条件“AC、BD交于点O”，结论是否成立？ 3你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？六、课堂小结，提炼升华1理解一个定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。2掌握两个推论推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3了解三种思想化归思想定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决； 两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。 运动思想两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。辩证思想定理是由特殊（三条平行线）推广到一般； 应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。七、达标检测，回授效果 1已知：如图11，在梯形ABCD中，AB/CD，E是CD的中点， EF/BC交AB于F，FG/ BD交AD于G。 求证：AG = DG。 2如图12，在ABC中，D是AB的中点，DE/BC交AC于E， （图11） EF/AB交BC于F。 （1）求证：BF=CF； （2）图中与DE相等的线段有 ； （3）图中与EF相等的线段有 ； （4）若连结DF，则DF与AC的位置关系是 ，数量关系是 。 （图12）八、课后作业，巩固新知 1求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。2已知：如图13，AD是ABC的中线，E是AD的中点， AE的延长线交AC于F。 求证：FC = 2AF。 （图13） 附：板书设计BC'CAB'BC'CAB'A'§49平行线等分线段定理定 理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 直线a / b / c，AB = BC A'B' = B'C'。推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。 在梯形ACC'A'中，AB=BC，AA' / BB' / CC'。 A'B' = B'C'。推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。 在ACC' 中，AB=BC，BB' / CC'. A'B' = B'C'。一、动手操作二、例题研究 例1已知：线段AB（如图）。 求作：线段AB的三等分点。 AB 例2已知：如图，在ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点， CM、AM分别交BD于E、F。 求证：BE = EF = FD。例3已知：如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O， 过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线， 垂足分别为A'、B'、C'、D'、O'。 求证：A'D' = B'C'。 三、达标检测 1已知：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，E是CD的中点， EF/BC交AB于F，FG/ BD交AD于G。 求证：AG = DG。 2如图，在ABC中，D是AB的中点，DE/BC交AC于E，EF/AB交BC于F。 （1）求证：BF=CF； （2）图中与DE相等的线段有 ； （3）图中与EF相等的线段有 ； （4）连结DF，则DF与AC的位置关系是 ，数量关系是
