知识讲解概率全章节复习与巩固
概率全章节复习与巩固【学习目标】1. 理解随机变量及其概率分布的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2. 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用3. 理解事件的独立性和条件概率，并能进行简单的应用4. 理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题5. 理解随机变量的均值、方差的概念，能计算简单随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.6. 了解正态分布的有关概念.【要点梳理】 要点一、离散型随机变量及其分布列1. 离散型随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母,等表示。对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；若是随机变量，=a b,其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性(离散型、连续型)。2 .离散性随机变量的分布列：设离散型随机变量可能取得值为Xi,x 2,X3,若取每一个值Xi(i=1,2,)的概率为P二xj = R，则称表匕X1X2XiPP1P2P为随机变量的概率分布，简称的分布列.离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) p>0,i=1,2 ；(2) P+P2+=13 .如果随机变量X的分布列为X10Pp1 -p称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布。要点二、超几何分布在含M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件X二k发生的概率为:P（X 二 k）二Ckn -kM CN -MCNk =0,1,2, Hl,m,其中 m = min M , n , n < N, M 兰 N, n, M ,，称分布列X0imPC 0 c n _0 CM CN JMC1n _1CM CNJMC m C n_m CM CNJMcNCNCN为超几何分布列。离散型随机变量X服从超几何分布。要点三、独立性1. 条件概率的概念设A、B为两个事件，且P(A) 0，在已知事件A发生的条件下，事件 B发生的概率叫做条件概率, 用符号P(B|A)表示。要点诠释在条件概率的定义中，事件 A在事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是 不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的而这里所说的条件概率，则是当试验结果的 一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率.2. 条件概率的公式 利用定义计算先分别计算概率P (AB)及P ( B),然后借助于条件概率公式 P(A| B) = P(AB)求解.P(B) 利用缩小样本空间的观点计算在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B，原来的事件 A缩小为事件 AB，从而AB包含的基本事件数P(A|B)二B包含的基本事件数，即：P(B|A),n(A)此法常应用于古典概型中的条件概率求解.3. 事件的独立性事件A、B满足P(AB) =P(A)，则称事件A、B独立。若A与B是相互独立事件，则 A与B , A与B , A与B也相互独立。4 .相互独立事件同时发生的概率公式：对于事件A和事件B,用A B表示事件A、B同时发生。(1 )若A与B是相互独立事件，则 P(A B)二P(A)卩(B);(2)若事件A,A2l(,An相互独立，那么这 n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：P(A A 川 A)=P(A)卩(A)川 卩(A)。要点四、二项分布1. n次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果A与A,并且事件A发生的概率相同。在相同的条件下重复地做 n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验。要点诠释：在n次独立重复试验中，一定要抓住四点： 每次试验在同样的条件下进行； 每次试验只有两种结果 A与A，即某事件要么发生，要么不发生； 每次试验中，某事件发生的概率是相同的； 各次试验之间相互独立。总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验 中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是 一样的。2. 独立重复试验的概率公式如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中， 事件A恰好发生k次的概率为：k kn _kPn(k)二Cn p (1 - p) (k=0, 1, 2,n).令k=0得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为R(0) =C0p0(1P)n= (1P)n令k= n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为R(n) pn(1p)°= pn。3. 二项分布在一次随机试验中， 事件A可能发生也可能不发生， 在n次独立重复试验中事件 A发生的次数是一 个离散型随机变量如果在一次试验中事件A发生的概率是 p，则此事件不发生的概率为 q = 1 - P，那么在n次独立重复试验中事件 A恰好发生k次的概率是Pn(F； =k) =Pn(k) nCpkqZ, ( k ,却n )于是得到离散型随机变量的概率分布如下：E01knP小00 nCn p q小 11nJCnP qk k n -kCn p qc n n 0CnP q由于表中第二行恰好是二项展开式(q+p)n =C：p0qn+C： pd，2和飞1十八+C：pnq°中各对应项的值，所以称这样的随机变量'服从参数为 n , p的二项分布，记作 B(n, p) 要点诠释：判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是独立性，即每次试验的结果是相互独立的；其二是重复性，即试验独立重复地进行了n次；其三是试验的结果的独特性，即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其 要点五、随机变量的均值和方差1.离散型随机变量的期望一般地，若离散型随机变量的概率分布为X1X2XipP1P2Pi则称E = X1p1 X2 p2* Xn Pn 为'的均值或数学期望，简称期望.要点诠释：(1 )均值(期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.(2) 一般地，在有限取值离散型随机变量'的概率分布中，令 = p2二=pn ,则有Pi = P2二1 1二Pn二,E = (Xi X2 - Xn)，所以的数学期望又称为平均数、均值。nn(3 )随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.2. 离散型随机变量的方差与标准差方差：已知一组数据 Xi , X2，Xn ,它们的平均值为X，那么各数据与X的差的平方的平均数2 1 2 2 2 S2(X1 -x) +(X2 -X)+ (Xn -X)叫做这组数据的方差。n离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为X1X2XPP1P2Pi则称D =区E)p1+(x2 E )2 p2 +(Xi- E ) Pi +称为随机变量的方差，式中的E是随机变量的期望.D 的算术平方根:D 叫做随机变量的标准差，记作；.3. 常见分布的期望与方差二点分布：若离散型随机变量服从参数为P的二点分布，则期望 E© = p .方差 D© = p(1 p).二项分布：若离散型随机变量服从参数为n, p的二项分布，即 B(n, P),则期望 E 二 nP .方差 D 二 np(1- p)几何分布：独立重复试验中，若事件A在每一次试验中发生的概率都为p，事件A第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且P(二k) =(1 - p)k'p , 0,1,2,311, n,川，称离散型随机变量服从几 何分布，记作： PC =k)二g(k, P)。若离散型随机变量服从几何分布，且 P(二k)=g(k, P),则期望 = 1. 方差D© =上£pp超几何分布：若离散型随机变量服从参数为N , M , n的超几何分布，则期望 E)= nMN要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。要点六、正态分布1.概率密度函数对于连续型随机变量 X，位于x轴上方，X落在任一区间(a, b内的概率等于它与 x轴、直线x=a 与直线x二b所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)，这条概率曲线叫做 X的概率密度曲线，以其作-是正态变量的标准差.,(-二：'：为图象的函数f (x)叫做X的概率密度函数。其中x是随机变量的取值；为正态变量的期望;bP(a ： X b)二 a、二(x)dx ,2 .正态分布如果对于任何实数 a,b (a : b)随机变量X满足:则称随机变量 X服从正态分布。记为 xL若X L N (二二2)，则X的期望与方差分别为：EX二Jf)22疔(x壬R),其中实数卩和为参数3.正态密度曲线如果随机变量X的概率密度函数为f(x)二 1ev2Ha（<!>0,亠£卩£ -HC ）,则称函数f（X）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。4 .正态曲线的性质: 曲线位于X轴上方，与X轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 X -对称;1 曲线在X -时达到峰值一 ； 当X 时，曲线上升；当 X I时，曲线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以X轴为渐 近线，向它无限靠近 曲线与X轴之间的面积为1 ；I确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿X轴平移。 决定曲线的位置和对称性； 当二一定时，曲线的对称轴位置由-1XA1J1 f 二确定曲线的形状；当定时，曲线的形状由 确定。越小，曲线越 高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。【典型例题】类型一、概率分布的性质例1、若离散型随机变量E的概率分布列为:试求出常数c与E的分布列。E01P9c2-c3-8c【解析】由离散型随机变量分布列的基本性质知:f29c c + 3-8c = 1 « 0 兰 9c2 c 兰11解得常数C=-,从而E的分布列为:3E01P2133【总结升华】解题关键是理解随机变量分布列的两个基本性质，在写出有的概率之和是否为 1。E的分布列后，要及时检查所举一反三：【变式1】某一射手射击所得的环数的分布列如下:10P 0.02求此射手“射击一次命中环数【解析】根据射手射击所得的环数0.047 ”的概率.E的分布列,0.060.090.280.290.22P( E =7) = 0.09 , P( E =8) = 0.28 , P( E =9) = 0.29 , P( E =10)
