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第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质： （2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点4平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定l （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。l （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。l （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。l （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4. 相似三角形的性质l （1）对应边的比相等，对应角相等.l （2）相似三角形的周长比等于相似比.l （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.l （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比二、经典例题例1. 如图在4×4的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上 （1）填空：ABC=_，BC=_（2）判定ABC与DEF是否相似？考点透视本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.参考答案 135°，2 能判断ABC与DEF相似，ABC=DEF=135°，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断例2. 如图所示，D、E两点分别在ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_，使得ADEABC考点透视本例主要是考查相似的判定参考答案 1=B或2=C，或点评：结合判定方法补充条件例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）A4.5米 B6米 C7.2米 D8米考点透视本例主要是考查相似的应用参考答案 B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”例4. 如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？考点透视本例主要是考查相似的实际应用参考答案 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答例5.如图所示，在ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y （1）如果BAC=30°，DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果BAC的度数为，DAE的度数为，当、满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由考点透视本例主要是考查相似与函数的综合运用.参考答案解:在ABC中，AB=AC=1，BAC=30°，ABC=ACB=75°，ABD=ACE=105°又DAE=105°，DAB+CAE=75°又DAB+ADB=ABC=75°，CAE=ADB，ADBEAC，y=当1满足- =90°，y=仍成立此时DAB+CAE=-，DAB+ADB=-，CAE=ADB又ABD=ACE，ADBEAC，y=【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答考点透视本例主要是考查位似的性质.参考答案 m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质三适时训练（一）精心选一选1梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）（A）（B）（C）（D）2如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AEBE，则（）（A）AEDBED（B）AEDCBD（C）AEDABD（D）BADBCD 题2 题4 题53P是RtABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条4如图，ABDACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2（B）3（C）4（D）55如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP与ECP相似的是（）（A）APBEPC（B）APE90°（C）P是BC的中点（D）BPBC236如图，ABC中，ADBC于D，且有下列条件：（1）BDAC90°；（2）BDAC；（3）；（4）AB2BD·BC其中一定能够判定ABC是直角三角形的共有（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个 题6 题7 题87如图，将ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）（A）AEAF（B）EFAF1（C）AF2FH·FE（D）FBFCHBEC8如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）（A）ABE的周长CDE的周长BCE的周长（B）ABE的面积CDE的面积BCE的面积（C）ABEDEC（D）ABEEBC9如图，在ABCD中，E为AD上一点，DECE23，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SDEFSEBFSABF等于（）（A）41025（B）4925（C）235（D）2525 题9 题10 题1110如图，直线ab，AFFB35，BCCD31，则AEEC为（）（A）512（B）95（C）125（D）3211如图，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AEAB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BCCD为（）（A）21（B）32（C）31（D）5212如图，矩形纸片ABCD的长AD9 cm，宽AB3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（）（A）4 cm、 cm（B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm（D）5 cm、2 cm题12（二）细心填一填13已知线段a6 cm，b2 cm，则a、b、ab的第四比例项是_cm，ab与ab的比例中项是_cm14若m2，则m_15如图，在ABC中，ABAC27，D在AC上，且BDBC18，DEBC交AB于E，则DE_16如图，ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AFFD，EF交AC于G，则AGAC_ 题16 题17 题1817如图，ABCD，图中共有_对相似三角形18如图，已知ABC，P是AB上一点，连结CP，要使ACPABC，只需添加条件_（只要写出一种合适的条件）19如图，AD是ABC的角平分线，DEAC，EFBC，AB15，AF4，则DE的长等于_ 题19 题20 题2120如图，ABC中，ABAC，ADBC于D，AEEC，AD18，BE15，则ABC的面积是_21如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ACAB，AD8，BC10，则梯形ABCD面积是_22如图，已知ADEFBC，且AE2EB，AD8 cm，AD8 cm，BC14 cm，则S梯形AEFDS梯形BCFE_(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）24. 如图，ABC中，CDAB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证25. 如图，在ABC中，ABAC，延长BC至D，使得CDBC，CEBD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AFFC26. 已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EFBC，FGAD求证：127. 如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2BG·CG；（2）BG·CGGF·GH28. 如图，ABCCDB90°，ACa，BCb（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，ABCCDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若ABCCDB求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）