圆周运动中的临界问题和周期性问题
细心整理圆周运动中的临界问题和周期性问题一、圆周运动问题的解题步骤：1、确定探究对象2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径3、分析探究对象的受力状况，画受力图4、确定向心力的来源5、由牛顿其次定律列方程求解二、临界问题常见类型：1、按力的种类分类：1、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有 绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无2、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力到达最大静摩擦2、按轨道所在平面分类：1、竖直面内的圆周运动2、水平面内的圆周运动三、竖直面内的圆周运动的临界问题1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 mgO轨道mgO 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/Rv临界= 可理解为恰好转过或恰好转不过的速度 即此时小球所受重力全部供应向心力能过最高点的条件：v，当v时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力不能过最高点的条件：vV临界事实上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳子长度为l=60cm，求：g取10m/s2A、最高点水不留出的最小速度？B、设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力？答案：1 22.5NmgO变式1、如下图，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)假设过小球恰好能通过最高点，那么小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力状况分别如何？(2)假设小球在最低点受到绳子的拉力为10mg，那么小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？2、单向约束之内轨道约束下拱桥模型的竖直面内圆周运动的临界问题：汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如下图。今给小物体一个水平初速度，那么小物体将 A.沿球面下滑至 M 点 B.先沿球面下滑至某点，然后便离开斜面做斜下抛运动.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立刻离开半圆球做平抛运动3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变更，杆或管道对其弹力发生变更这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同因为绳子只能供应拉力，不能供应支持力；而杆、管道既可以供应拉力，又可以供应支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力在弹力为零时即出现临界状态一轻杆模型如下图，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动(1)能过最高点的临界条件是：这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力(2)当时，N仍为支持力，且N随v的增大而减小，(3)当时，N0，此为轻杆不受弹力的临界条件 (4)当时，N随的增大而增大，且N为拉力指向圆心，例3、如下图，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。确定水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。(1)求小球通过最高点A时的速度vA;(2)假设小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C点的距离。解：(1)小球恰好能做完整的圆周运动，那么小球通过A点时细线的拉力刚好为零，依据向心力公式有：mg=解得:。(2)小球在B点时依据牛顿其次定律有T-mg=m其中T=6mg解得小球在B点的速度大小为vB=细线断裂后，小球从B点起先做平抛运动，那么由平抛运动的规律得:竖直方向上1.9L-L=(2分)水平方向上x=vBt(2分)解得:x=3L(2分)即小球落地点到C点的距离为3L。答案:(1)(2)3L管道模型质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r远小于球的圆周运动的半径R)，如下图小球到达最高点时对管壁的压力有三种状况：(1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为(2)当时，对下管壁有压力，此时，故。(3)当时，对上管壁有压力，此时。事实上，轻杆和管道两种约束状况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型例4、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R比细管的半径大得多，圆管中有两个直径与细管内径一样的小球可视为质点。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，假设要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是 。解：首先画出小球运动到达最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。据牛顿其次定律A球在圆管的最低点有： 同理m2在最高点有： m2球由最高点到最低点机械能守恒： 由上述方程可得：【小结】 比拟困难的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好探究对象，逐一分析就会变为简洁问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。四、水平面内圆周运动中的临界问题：解决圆周运动中临界问题的一般方法1、对物体进展受力分析2、找到其中可以变更的力以及它的临界值3、求出向心力合力或沿半径方向的合力的临界值4、用向心力公式求出运动学量线速度、角速度、周期、半径等的临界值OOA例5、水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转轴的距离为r时,假设物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的倍，求转盘转动的最大角速度是多大？ 解：由 得： 点评：供应的向心力的临界值确定了圆周运动角速度的临界值变式5、物体与圆筒壁的动摩擦因数为 ，圆筒的半径为R，假设要物体不滑下，圆筒的角速度至少为多少？ 解： 得30°45°ABC例6、如下图，两绳系一质量为m0.1kg的小球，上面绳长L2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rads时，上、下两绳拉力分别为多大？解：当渐大，AC绳与杆夹角变大，但BC绳还没拉直。当AC绳与杆夹角为30°时，BC绳处在虚直状态。之后再增大，BC绳上也会有拉力。所以BC绳虚直为临界状态。30°45°ABC，BC绳上有拉力。分析小球，由牛顿其次定律：变式6-1：如图，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球，上端接于天花板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角=60°。此时小球静止于光滑水平面上。1当小球以 做圆锥摆运动时，绳子张力多大？桌面支持力多大？2当小球以 做圆周运动时，绳子张力多大？桌面受到的压力多大？答案：1T=mg (2)T=4mg mgNT变式6-2、如下图，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，一条长度为L的绳质量不计，一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体物体可看质点，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。当v时，求绳对物体的拉力；当v时，求绳对物体的拉力。解：物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力G、拉力T、支持力N供应向心力，当角速度很小时，物体在圆锥体上运动。由2得：代入1得：由此可得，当v增大时，N削减。当大到必需值时，物体将离开锥面，绳与竖直方向的夹角将变大。明显当球与锥面虚接触即N=0，=30°时的线速度值为物体的临界速度。对球分析，由牛顿其次定律：当，所以N>0。由2得：代入1得：当，此时N=0，但夹角变大，不为30°由6得：7，代入5得：代入7得：例7、如下图，细绳一端系着质量M0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围m会处于静止状态？g10ms2Mrom的范围是：即 2.9 rads6.5 rads变式7：在以角速度匀速转动的转台上放着一质量为M的物体，通过一条光滑的细绳，由转台中心小孔穿下，连接着一m的物体，如下图。设M与转台平面间的最大静摩擦力为压力的k倍，且转台不转时M不能相对转台静止。求：1假如物体M离转台中心的距离保持R不变，其他条件一样，那么转台转动的角速度满足什么条件，物体M才能随转台转动？2物体M随转台一起以角速度匀速转动时，物体离转台中心的最大距离和最小距离。Mm答案：12例8、 如下图，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，取。1当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；2要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角度速度应满足的条件。答案：1 2变式8：如图，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个小物块。A离轴心的距离r1=20cm，B离轴心的距离r2=30cm，A和B与盘面间相互作用的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，求：OOB A1假设细线上没张力，圆盘转动的角速度应当满足什么条件？2欲使A、B与盘间不发生相对滑动，圆盘转动的最大角速度为多少？3当A即将滑动时，烧断细线，A、B运动状态如何？答案：1 24rad/s3A接着做圆周运动，B做离心运动五、圆周运动的周期性问题：利用圆周运动的周期性把另一种运动例如匀速直线运动、平抛运动联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，留意用时间相等来联系。在这类问题中，要留意找寻两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要留意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。例9：如下图，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，那么小球的初速度v_，圆盘转动的角速度_。【审题】小球做的是平抛运动，在小球做平抛运动的这段时间内，圆盘做了必需角度的圆周运动。解：小球做平抛运动，在竖直方向上：h
