第23章一元二次方程（判别式根与系数）（教育精品）

第23章一元二次方程（判别式、根与系数）一、知识点归纳：1.一元二次方程根的情况：(1)当0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当0时，方程无实数根.2、一元二次方程根与系数的关系韦达定理： 一元二次方程，如果有实数根（即），设两实数根为x1，x2，则， 引申1：对称式： 引申2：由可判断两根符号之间的关系： 若，则x1，x2同号； 若，则x1，x2异号，即一正一负 再由可判断两根大小的关系。 3、由x1，x2两根可构造的一元二次方程 以x1，x2为根的一个一元二次方程为二、【典型例题】 【例1】已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.【例2】 已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求a、b的值；(2)已知k为一实数，求证：关于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.【例3】关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【例4】 已知：a、b、c是ABC的三边，若方程有两个等根，试判断ABC的形状.【例5】（1）若x1，x2是方程的两个根，求，； （2）若方程的两个根是x1，x2，求。 【例6】（江西2004中考题） 已知关于x的方程 （1）当m取什么值时，原方程没有实数根？ （2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和。 【例7】（2004海淀中考） 已知，关于x的一元二次方程的两个实数根之差的平方为m，若对于任意一个非零的实数a，总成立，求实数c及m的值。 三、基础练习（一）选择题：1.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( ) A.m1 B. m1且m0 C.m1 D. m1且m02.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 ( ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根3.下列一元二次方程中，有实数根的是( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=04.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( ) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k1/4时，方程有实数根5已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于（ ）. AB. C. 或 D. 8或-86已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的最大整数值是（ ）（A） 2 （B） 1 （C）0 （D）17要使关于的方程有实数根，则应满足的条件是（ ）.AB. C. D. 8、下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如果一元二次方程的两个根为，那么与的值分别为（ ） A. 3，2B. C. D. 10已知一元二次方程的两个根的和为，两个根的积是2，则这一元二次方程是 （ ）A、 B、 C、 D、11. 如果是方程的两个根，那么的值等于（ ） A. B. 3C. D. 12. 已知关于x的方程有两个相等的正实数根，则k的值是（ ） A. B. C. 2或D. 13. 若方程两实数根的平方差为16，则m的值等于（ ） A. 3B. 5C. 15D. 14. 如果是两个不相等的实数，且满足，那么等于（ ） A. 2B. C. 1D. 15. 对于任意实数m，关于x的方程一定（ ） A. 有两个正的实数根 B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根 D. 没有实数根16已知a、b、c是ABC的三边长，方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实根B. 有两个相等的实根C. 无实根D. 根据ABC的形状确定（二）、填空题：1关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则k= .2关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，m= 3一元二次方程，当m= 时，方程有两个相等的实根；当m 时，方程有两个不相等的实根；当m = 时，方程有一个根为04如果关于x的方程有两个实数根，则k得取值范围 5. 若方程的两根之比是2：3，则k=_。6. 若方程的两根为a、，则 _。7. 以数和为两根的一元二次方程是 。8、若方程的两根的倒数和是，则_。三、解答题1当a是什么实数时，关于x的一元二次方程。（1）有两个相等的实数根？（2）有两个不相等的实数根？（3）没有实数根？2已知关于x的方程和，它们都有实数根，试求实数k的取值范围3已知关于x的方程根的判别式之值为0，1为方程的根，求m、n的值。4. 设方程的两根为，求分别以下列两数为根的一元二次方程： (1)；(2) 5、已知一元二次方程 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设是方程的两个实数根，且满足，求m的值。 5、. 已知关于x的方程 （1）k取什么值时，方程有两个实数根？ （2）如果方程的两个实数根满足，求k的值。 6、. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；（2）设是方程的两个实数根，若，求a的值。7、已知关于x的方程，问：是否存在实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.