-思维的敏捷性
奇偶性能力思维的敏捷性001.01难度1函数f x = x 6 + 6 兀是（）答案选项：4奇函数偶函数既是奇函数也是偶函数既不是奇函数也不是偶函数提示：学习目标： 掌握函数奇偶性的定义，养成敏捷判断判断事物性质的好习惯. 解析：函数f x的定义域为xx = 6 ,因为定义域不关于原点对称，因而该 函数既不是奇函数也不是偶函数.小结：定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的前提条件.002.01难度2设函数f x是奇函数，若f 2 + f 1 +2 = f 1 + f 2，贝/ 1 + / 2 =()答案选项：11203提示：学习目标：利用奇函数的定义解题，养成敏捷分析问题的习惯.思路技巧：借助奇偶性求解.解析：函数f x是奇函数，/ 2 + / 1 +2 = / 1 + / 2f 2 f 1 + 2 = f 1 + f 2 ,即 f 1 + f 2 = 1.小结：利用f X的奇偶性，把f x写成f X或-f X，是常用的解题思路.003.01难度3函 数y=1 一丄()x 1答案选项：3在(一 1,+8)上单调递增在(一1,+8)上单调递减在(1,+8)上单调递增在(1,+8)上单调递减提示：学习目标： 掌握图象的平移，通过函数图象平移提高敏捷解决问题的习惯.思路技巧：利用熟悉的函数图象进行平移观察可得.解析：T函数y= -丄在(8, 0)和(0, + 8)上分别是单调递增的，函数y=1 -丄是把函数y= 1的图象先向右平移1个单位，再向上x 1X平移 1 个单位,显然函数y=1 -丄在(8, 1)和(1, + 8)上分别是单调递增的，如X 1下图：小结：数形结合是解决问题的金钥匙.004.01难度4设函数f x是偶函数，其图象是连续的，且当x > 0时，/ x是单调 函数，则满足fx = / +3的所有兀之和为（）x +4答案选项：1-8-338提示：学习目标：掌握偶函数的本质，培养学生敏锐思考的能力.解析：因为函数f x是偶函数，其图象是连续的，且当兀> 0时，f x是单 调的，若f X = f出，x+4则X =出，x+4即兀=岀，或一兀=出，x+4x+4整理得，x2 + 3% 3 = 0，或兀2 + 5x + 3 = 0 % + x = 3, x + x = 51234所以，所有兀之和为-8.小结：抓住问题的本质，偶函数的图象关于y轴对称.005.01难度5已知定义在R上的函数f x满足/ x + f x = 0，且当兀e0， + 8时,f x = x 2 x，则当兀e (8， 0时，函数f x的 递增区间为( )答案选项：11， 08， 08， 1不能确定提示：学习目标：掌握奇函数的性质，培养思维的敏捷性.思路技巧：利用奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，避免求解析式.解析：当x e 0， + 8 时，f x = x 2 x = x2 + 2x = (x 1)2 + 1,显然在（0，1）上是递增的，又定义在R上的函数f x满足f -x + f x =0,所以函数f x是奇函数，由奇函数的性质：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 故当兀（-8, 0时，函数f兀的递增区间为（一1, 0）.小结： 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是一致的.006.01难度6下列关于函数x2 2x + 3，x > 0，f x =x2 + 2x + 3， x < 0.的说法正确的是（ ）（多选题）答案选项：2， 3是奇函数函数f x可化为带绝对值符号的式子f x = x2 - 2|%| + 3,是偶函数 画出函数f x的图象，由图象的特征：关于y轴对称，可知f x是偶 函数既不是奇函数也不是偶函数提示：学习目标： 掌握分段函数奇偶性的判断方法，培养思维的敏捷性.思路技巧： 利用奇偶性的定义或利用函数图象判断. 解析：1、利用定义判定：若% > 0,则x < 0,f x =(一兀)2 2x + 3 = x2 2x + 3= f x ； 若% < 0,则x > 0,f x = (%)2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 3 = f x ； 综上可知函数f X是偶函数；2、由图象观察：易知函数是偶函数.小结：掌握偶函数的判断方法.007.01难度7设函数f(x)的定义域为(0, + 8),对任意正实数兀，y均有/(xy) = f x + f y，且当兀1时，f x 0,则函数f(x)的单调性为( )答案选项：1 是(0, + 8)上的增函数是(0, + 8)上的减函数是(0, + 8)上的常函数无法判断函数f (x)的单调性提示：学习目标：掌握抽象函数单调性的判断方法,培养思维的敏捷性.思路技巧： 利用“作差法”判断函数的单调性.解析：设兀2 叫> 0,则比> 1, f乞X1X1> 0,f x2 fX=f X + f 狙-f XX 2所以函数f x是(0, + 8)上的增函数.小结：判断抽象函数的单调性,要充分理解及运用已知条件.008.01难度7 设函数f (%)的定义域为R,当兀> 0时,f x >1,且对任意的兀，y G R, 均有+ 7)= f x f y成立，则函数f(x)的单调性为() 答案选项：1是R上的增函数是R上的减函数不具单调性无法判断函数f (x)的单调性提示： 学习目标： 掌握抽象函数单调性的判断方法,培养思维的敏捷性.思路技巧： 先判断函数值的符号,在利用“作商法”判断函数的单调性.解析： 令兀=0，y = 1，可得f(1) = / 0 / 1， f 1 > 1，f 0 = 1再令y = %，则f 0 = f X f X =1，即f X = ，> 0；f %若兀 < 0， f x = > 0，此时f x f x综上，f x > 0恒成立.设兀> x2，则 %2 > 0，f X x2 f xAxo = f X f X => 1，1 2 1 2 12所以函数f x是R上的增函数.小结：赋值法是解决这类问题的金钥匙.009.01难度8设兀，yER,且满足x 13 +2011 x 1 = -1,y- 1 3 + 2011 y 1 = 1.则兀+ y=()答案选项：12314提示：学习目标：掌握用函数思想处理问题的方法，提高思维的敏捷性.思路技巧：构造函数.解析：考察函数f t = 13 + 2011t,显然函数f t是奇函数，且在R上是单调递增的，若ft = 1， f 2 = 1，则 f t = f ±2 'x 13 +2011 x 1 = 1, y- 1 3 + 2011 y 1 = 1.:、x 1 + y 1 = 0，即兀 + y = 2.小结： 方程问题可以转化为函数问题解决，注意对函数性质的灵活应用.010.01难度8已知定义在X X丰±1上的函数f X与g X , f X是偶函数，g X是奇函数，且f+ g X = ，则有（）x 11X 2 11 7X 2 1，gX 2 1，gX 2 1答案选项：1X =亠X 2 1- XX 2 12xX 2 1 XX 2 1提示：学习目标：掌握通过奇偶性建立方程组求函数解析式的方法，提高快速分析问题的能力.思路技巧：利用奇偶性构建方程组解题.解析：用一兀代换兀得：f _x + g -x1乂 1丄联立解得,x 1即 f x g X =丄，与 f X + g Xx+1f X = -, g X = .X 2 1X 2 1小结： 此类问题一般采用构建方程组求解.
