行程问题综合分类

小升初强化专题训练 行程问题下 行程问题综合分类1. 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环行跑道匀速跑步，如果出发时乙的速度是甲的2。5倍,当乙第一次追上甲时,甲的速度立即提高,而乙的速度立即减少，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距（较短距离）100米，那么这条环行跑道的周长是_米；ACB解:设甲原来的速度是1个单位，则乙原来的速度是2。5个单位，甲后来的速度是1。25个单位,乙后来的速度是2个单位。设第一次甲跑了x圈时被乙追上，则此时乙跑了（x+1)圈；被追上后甲又跑了y圈再次被乙追上,则乙又跑了（y+1)圈。利用两次甲乙跑的时间相等列方程：解得：如图，若两人从A出发逆时针跑，则第一次乙在B点追上甲，第二次在C点追上甲（A、B、C是圆周的三等分点）。因为B、C相距100米,所以环形跑道的周长为米。2. 两块手表走时一快一慢，快表每9小时比标准表快3分钟，慢表每7小时比标准表慢3分钟.现在把快表指示时间调成是8:15,慢表指示时间调成8：31,那么两表第一次指示的相同时刻是_:_；答案：5：223. 一艘船在一条河里5个小时往返2次，第一小时比第二小时多行4千米,水速为2千米小时，那么第三小时船行了_千米；解：首先判断出开始是顺流。在第1小时和第2小时这两个相等的时间内,速差是4,路程差也是4，那么得到第1小时正好是走一个顺流的长度。由于第1个小时在顺水时走的才是一个全长，那么第4小时肯定是逆水。具体行驶情况如图。再者，第2小时和第3小时逆行的路程都是4,那么它们顺行的路程也必须相等，故第3小时的最终时刻到全长的中点。44最后，比较第3小时和第3小时行驶的情况：设全长为2a千米，船在静水中的速度为每小时x千米.，解得a10千米.4. 小明早上从家步行到学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有的路程未走完,小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。这样，小明就比独自步行提早了5分钟到学校，小明从家到学校全部步行需要_分钟；解：小明走，与小明的爸爸走的时间相同,所以他们的速度比是：7：2，接下来如果小明步行,爸爸骑车都走的路程，那么小明就多用5分钟,设速度的一份为x，则,所以小明的速度是，从家到学校的路程是1，所用时间是分钟。行程问题下一、环行运动:1. 男、女两名运动员同时同向从环形跑道上A点出发跑步,每人每跑完一圈后到达A点会立即调头跑下一圈.跑第一圈时，男运动员平均每秒跑5米，女运动员平均每秒跑3米。此后男运动员平均每秒跑3米，女运动员平均每秒跑2米.已知二人前两次相遇点相距88米（按跑道上最短距离），那么这条跑道长_米；解：因为第一圈时男运动员的速度是女运动员的倍，所以男运动员跑完第一圈后，女运动员刚刚跑到全长的位置。这时男运动员调头和女运动员以相同的速度相向而行,所以第一次相遇点在距A点全长处。下面讨论第二次相遇点的位置，在第二次相遇前，男运动员已经跑完第二圈，男运动员跑第二圈的速度与女运动员第一圈的速度相同,所以在男运动员跑完第二圈时，女运动员跑第二圈的时间恰好等于男运动员跑第一圈的时间,而女运动员跑第二圈的速度是男运动员跑第一圈速度的，所以女运动员刚好跑到距A点的位置,此时男女运动员相向运动，男运动员的速度为3m/s,女运动员的速度为2m/s。这样第二次相遇点距A点。两次相遇点间的距离为总全长的。所以两点在跑道上的最短距离为全长的.而这段距离又为88米。所以88÷200米。2. 在一圈300米的跑道上,甲、乙、丙3人同时从起跑线出发，按同一方向跑步，甲的速度是6千米/小时，乙的速度是千米/小时，丙的速度是3.6千米/小时，_分钟后3人跑到一起,_小时后三人同时回到出发点；分析:我们注意到，3人跑到一起的意思是快者比慢者跑的路程差应是300的整数倍；如果都同时回到出发点,那么每人跑的路程都是300的整数倍。同时注意到本题的单位不统一，首先换算单位，然后利用求两个分数的最小公倍数的方法可以解决问题。解：(1）先换算单位：甲的速度是米/分钟；乙的速度是米/分钟；丙的速度是米/分钟。（2)设t分钟3人第一次跑到一起，那么3人跑的路程分别是米、米、米。路程差都是300的整数倍.而 ,所以第一次3人跑到一起的时间是分钟。（3）设k分钟3人同时回到起点,那么3人跑的路程分别是米、米、米。每个路程都是300的整数倍。而，所以3人同时回到起点的时间是105分钟。评注：求几个分数的最小公倍数的方法是：所有分子的最小公倍数作分子，所有分母的最大公约数作分母得到的分数.ACBBA3. 某体育馆有两条周长分别为150米和250米的圆形跑道如图，甲、乙俩个运动员分别从两条跑道相距最远的两个端点A、B两点同时出发,当跑到两圆的交汇点C时，就会转入到另一个圆形跑道，且在小跑道上必须顺时针跑，在大跑道上必须逆时针跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，当乙第5次与甲相遇时，所用时间是_秒.分析:本题如果按原来的图形思考，会是非常麻烦的事，需要分段计算，然后找到周期，这样没有细心的计算是很难解决问题的。现在我们注意到在小圆上是顺时针，在大圆上是逆时针，如果这两个圆能“拧开”就是一个在周长400米的大圆上的不同起点同时的追及问题，题目一下子变得非常简单了。解：根据分析,甲在A处,乙在B处，相距200米同时同向而行，乙速较快，第一次追上甲要多跑200米，以后每追上一次乙都要比甲多跑400米，那么第五次乙追上甲时，比甲多跑400×4+2001800米，需要的时间是1800÷(54）1800秒。ABCDNPM86129评注：当一个问题按试题指引的方向比较复杂时，有时可以换一个角度得以使试题简化，而题目本身并没有实质上的变化，这是解决数学问题经常用到的“转化"的数学思想。4. 如图，正方形ABCD是一条环行公路。已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米,在DA上的时速是80千米。从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC的中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N相遇.那么=_；分析：对于正方形的路线，每边长是相同的，由于反向开出的两辆车，不管走什么样的路况，到相遇的时候走的时间相同，故可以把每边设成速度的倍数，转化成时间来解题。解:设正方形的边长为720千米，那么AB上行驶的时间是720÷90=8小时，BC上行驶的时间是720÷120=6小时，CD上行驶的时间是720÷60=12小时,DA上行驶的时间是720÷80=9小时。那么行驶一周的总时间是8+6+12+9=35小时。 从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇，相当于从AB中点同时反向各发出一辆汽车，它们在CD上一点P相遇，每辆车都行驶35÷217.5小时，DP上的时间为17。5-4-9=4。5小时，PM上的时间为（12-4。5）÷2=3.75小时.同样得到AN上的时间为17.5-3。75-4。5-9=0.25小时，NB上的时间为80.257。75小时。AN、NB上的速度相同，故路程比就等于时间比。即。评注：本题要把握住从起点到终点的时间和从终点到起点的时间相同，很容易求得DP上的时间。同时注意到把边长设成速度的最小公倍数解题可以简化计算。二、时钟问题：5. 早上8点多的时候上课铃响了,这时小明看了一下手表.过了大约1小时下课铃响了,这时小明又看了一下手表，发觉此时时针和分针的位置正好与上课铃响时对调,那么上课时间是_时_分。分析：8点多上课,下课是9点多，两次的时针应是在89与910之间，这样可以初步判断出上课时间是8:点45分到8：50，下课时间是9：40到9：45之间.再利用分针与时针速度的关系即可转化成环形上的行程问题。解：有分析可以知道，分针和时针走的总路程是整个圆周，设分针速度为1，那么时针速度为,分针每小时走60个小格，设8与时针的夹角为x格，9与分针的夹角为y格，根据时间相同列方程组：。所以上课的时间为40+=分钟。6. 一只旧钟的分针和时针每65分钟(标准时间的65分钟)重合一次,这只钟在标准时间的1天（快或慢)_分钟；分析：我们标准钟每65标准分钟时针、分针重合一次。旧钟每65分钟重合一次.显然旧钟快。本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度（每标准分钟旋转多少格）进而推算出旧钟的针24标准小时旋转多少格，它与标准钟的针用24标准小时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数.解:设旧钟分针每标准分钟走x格.那么，每走1格用标准分钟。如用复合单位表示：旧钟分针速度为x （格/标准分)。旧钟分针走60格时针走5格，时针速度总是分针的，所以旧钟时针速度为x (格/标准分).每次重合耗用65标准分钟，而且两次重合之间分针赶超了时针60格，列方程：。标准时间一天有60×241440标准分，一天内旧钟分针走的格数为：×60×24。但是我们只须求出旧钟分针比标准钟分针多走了多少格,即减去1440个(标准钟的)格，所以有×60×2460×24(1）×60×24×60×2410(旧钟格）这里一定要明白，这10只是旧钟上显示的多走的格数，也是旧钟的非标准分钟数,并非标准的分钟数。答：这只旧钟在标准时间一天内快10分钟.（按旧钟上的时间)7. 一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为成差数列递增。现在可以设定指针第一秒转动的角度a(a为整数）,以及相邻两秒转动的角度差1度，如果指针在第一圈内曾经指向过180度的位置，那么a最小可以被设成_，这种情况下指针第一次恰好回到出发点是从开始起第_秒。解：对于满足条件的a，即存在1个自然数n，使得a+(a+1）+（a+2）+¼+（a+n-1）=180，即(2a+n-1)n=360。显然a越小时，2a+n-1与n的差越小。又2a+n-1与n的奇偶性不同，于是可推出n=15，a=5。故a最小可以被设成5。在这种情况下指针第一次恰好回到出发点时，即5+6+7+n=360k（k是整数，n5)，所以(n+5)（n-4）能被720整除。注意到n-4n+5（mod3)，所以n-4和n+5是3的倍数。又n+5与n-4的奇偶性不同，故有一个是16的倍数.且n+5与n-4中有1个是5的倍数。于是得出满足条件的最小的n是100。时间为96秒。三、流水行船问题：8. 某人乘坐观光游船沿河流方向从A港到B港前行。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过。已知A、B两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静水中的速度相同，均是水速的7倍。那么货船的发出间隔是_分钟；分析：对于直线上汽车与行人的迎面相遇和背后追及这个类型的问题是多见的，这里要注意顺水与逆水的不同。解:设货车在静水中的速度为6，那么水速为1，游船的速度为x，时间间隔为t，那么在追及的情况下的间隔为30×（6+1)-(x+1）=(6+1)×t，迎面相遇情况下的间隔为20×(6-1）+(x+1)=（6-1）×t,解得t720/29分钟。评注：这里要注意与路面上的情况不同的是发车的时间间隔相同时候，在顺水与逆水的间隔路程就不同了，就是这样出错的。9. 有一地区，从A到B为河流,从B到C为湖。正常情况下，A到