161 线性回归—回归分析的意义

1.6.1 线性回归回归分析的意义一、教学目标：1明确两个变量具有相关关系的意义；2知道回归分析的意义；3知道回归直线、回归直线方程、线性回归分析的意义； 4掌握对两个变量进行线性回归的方法和步骤，并能借助科学计算器确定实际问题中 两个变量间的回归直线方程；5培养学生形成运用数据进行推断的能力；6让学生体会从特殊到一般的辩证思想方法 二、教学重点：了解线性回归的基本思想和方法； 教学难点：线性回归的基本思想方法和计算三、教学用具：幻灯机或多媒体四、教学过程：1引入新课先引入函数关系再引入相关关系间由正方形面积S与其边长X之间的函数关系S x2 （确定关系）引入一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系（非确定关系），从而引入新授 内容2（板书）相关关系与回归分析（1）相关关系进一步分析水稻产量与施肥量的关系，得出相关关系的概念（板书）自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做 相关关系相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自 变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与 随机变量的关系引导学生列举现实生活中相关关系的例子（2）回归分析（板书）对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析 通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性（3）散点图 首先用小黑板或幻灯给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量X15202530354045水稻产量y330345365405445450455再同时给出各对数据在平面直角坐标系中表示的点（板书）表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图 散点图形象地反映了各对数据的密切程度3回归直线方程（1）求回归直线方程的思想方法 先引导学生观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近并问学生，类似 图中的直线可画几条？显见，可画出不止一条类似的直线.那么，其中的哪一条直线最能代表变量x与y之间 的关系呢？引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小, 其过程简要分析如下：设所求的直线方程为J = bx + a，其中a、b是待定系数.则 y = bx + a.(i = 1,2,n).于是得到各个偏差iiy - y = y - (bx + a).(i = 1,2,n).i i ii显见，偏差y-y的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不ii能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和Q 二(y - bx - a)2 + (y - bx - a)2 HF (y - bx - a)1122n n表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.记 Q = £ （y 一bx 一a）2 （向学生说明£ 的意义）.iii =1i=1上述式子展开后，是一个关于a、b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的y 一x y - nxy ii-T=1y 一 2x 2 nxii=1a、 b 的值（课前布置学生看阅读材料）即(x - x)( y - y)iib =-工(x - x)2ii=1a = y - bx.yi其中X二1工x二1工n i ni=1i=1在此基础上，给出回归直线方程、回归直线、线性回归分析的概念最后，向学生指出，对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、S求出回归直 线方程即可不要求掌握回归直线方程的推导过程（2）回归直线方程的求法 让学生用计算器对前面列表中的数据进行具体计算，列成以下表格/1234567Xi15202530354045yi330345365405445450455xyi i49506900912512150155751800020475工 x2 = 7000,工 y2 = 1132725,工 xy = 87175iii ii=1i=1i =1提问：列表计算的优点是什么？故可得到了 87175 - 7 x 30 x 399.3 乞 b =沁 4.75,7000 - 7 x 302a = 399.3 - 4.75 x 30 沁 257,从而得回归直线方程是勺=4.75x + 257.最后请一位学生画出回归直线，并求出x = 35时，y的估计值.例 一个工厂在某年里每月产品的总成线y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下 一组对应数据：x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.501）画出散点图；（2）求月总成本y与月总产量x之间的回归直线方程.讲解上述例题时，（1）可由学生完成05 I L5 2 x对于(2),可引导学生列表，按xiT y T x y T x T y Tx 2 i i i ii=1国y 2 t国x yii ii=1i=1的顺序计算，最后得到b沁1.215, a沁0.974.即所求的回归直线方程为y = 1.215x + 0.974.若条件允许，可借助几何画板向学生演示本题，即画出散点图，并求出回归直线方程 讲解上述例题后，要求学生完成下面问题：在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：时间t (s)5101520304050607090120深度y (卩m)610101316171923252946( 1)画出散点图；(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程.略解：( 1)散点图呈直线形( 2)经计算可得t = 46.36, y = 19.45,迓 12 = 36750,区 y 2 = 5442,迓 ty = 13910. iii i区 t y 一 11x tyiib =区 12 一 11x t2ii=1i =1i=1i=113910 - 11x 46.36 x 19.45沁 0.3.36750 一 11x 46.362a = y 一bt = 19.45 一 0.3x 46.36 5.542.故所求的回归直线方程为y = 0.3t + 5.542.让学生做课后练习题4课堂小结 本节课要求准确理解相关关系的概念，并在此基础上，了解回归分析与散点图的含义 了解回归直线方程推导的思路，会利用a、b的公式求出回归直线方程，利用回归直线方程 去估值六、布置作业：教科书第41 页第1题