《自动控制理论》第二章例题解析
第2章控制系统的数学基础与数学模型，例题解析例2-1机械系统如图2-1所示，)为外力，Mi，也为质量，"和勿为阻尼系数,L为弹性系数。求以质量Mi的速度和位移2为输出，*)为输入时的系统的传递函数。解：先画出以M和“2的受力图如图2-2。根据图2-2,列出如下方程：+A(V -v2) + b2vl = rMv2 + kxy = /?!(Vj - v7)V2 =2零初始条件下进行拉氏变换，并整理得:H 顽T)&(T)B1(T)&(t)K& | M2GJ2MiA p2WiP(T)Mi图2-1机械系统P1(CJ1-UJ2)MiujiPh)(MS + /?i +b2)Vl(s)-bV2(s) = R(s)-(s) + (如 + 但 + -)V2(5)= 0图2-2消去中间变量巧(s)得R(S)峪(S)=八 7 ,(A/|S + /?| +。2)(财2、+。 +%)/?2所以，以Vi(s)为输出，R(s)为输入的传递函数是=w =+ kR(s) (M|S + A| +")(M,2 +b】s + k)_b；若输出为Mi的位移工|,则由于sXi(s)= Vi(5),故其传递函数为C (s)C (s) C2 (s) G(S)匕(s) ' R (S) ' &(s)图 2-27解：用结构图等效变换法求解。如图2-28和2-29。图 2-28Ge例2-8系统结构如图2-27所示。试求柘图 2-29计算湍和需时令心=。，有:Ri图 2-30CCiRc2图 2-31所以GG2G3G (s) 1 -GGa的 3) +( GQz)G4G5 H】1-G,G2 1 + G4 g2(I + G/GG2G3I + G4 -gg2 -gg2g4-gg4g5hh2G|G2"）（顽;）（寸顽）乞和 一 1+（_）（生）（耍*-gg2 g2 1 + g4 1GlG4G5G6H21 + G4 G|G0 G|G2G4 + GQ4G5H H 2同理计算部和斜时可令S。，方法同上，略。例2-9系统结构如图23所示,求器图 2-32R（s）C（s）解法一：由结构图等效变换求解。图 2-33图 2-33C(s)所以,C(s) GG2G3 + GJ1 + G2G3H2 + Gg - GG2H1)(5) l + G2G3/2+G2/1-G,G2H1解法二：用信号流图法解。在结构图上画出相关节点。图 2-35信号流图为该信号流图由两条前向通路，三个独立回路。前向通路增益为:P = GIG2G3 . P2 = G4三个独立回路分别为:+Gi G2/1G2G3H2,所以A = 1+G2G3H2+G2H1 - GiG2/i所以G)G2G3 + G4 (1 + G2G3H2 + G2H、 GG2H)l + G2G3/72 +G2/7, -GG2H图 2-37例5系统如图2-37所示，用梅逊公式求斋，篇解：（1）将图2-37中各信号端口标注出来（图2-38）,然后依次画出相应得信号流图。（图 2-39）图 2-38h2R(s)所以例 2-11图 2-39(2)求C堕，该系统由两条前向通道，三个独立回路。R(s)Pi = G/G2G3 , P2 = G4G3Lx =-G3H2,L2=-G1H1，L3=GiG2G3H|2其中L和3不接触。所以 = 1+G3H2+GIM + GIG2G3HIH2+G3H2GIH1 i = l, A 2= 1 +GH所以C(s) _GG2G3 + G4G3(1 + Gj/7|)I + G3H2+GQ2G3H1/ +G3H&H1求旦立，该系统有两条前向通路，三个独立回路。Pi = 1, P2 = -G4G3H2H1 -k+GsHa+GiHi+GiGaGsHifh+GslhGiHi 1 = 1+G3H?， 2=1£"(s)1 + G3H2 - G4G3HH&R(s)A系统结构如图2-40所示，用梅逊公式求£堕。R(s)图 2-40解：先将各节点标注出来，然后画出相应的信号流图如图2-41, 2-42o该系统有九条前向通路，四个互相接触的单独回路，分别为：1 “。(顷酒=整，呢很)(与(4 平S S S'S S S Sp3 = 52(i)7C2A = Kv P4= /co (-)(-)=与s ss s sPs = 52(-)()(-)=玉,(-)(-) = 1s s s ss sPj = -sK2 () = -K2，Ps = s()()=()ss s si i kR)=s(Y)=(Ts s s侦=4尊 "M，y单S sss、所以 1= A 2= A 3= A 4= A 5= A 6= A 7= A y= A 9= 14冬&冬 +玉也+1C(s)_ s 尸 +5253225 SR(s)X Kg KgJ；+ 亍+ b 二=1h Ci图 2-43例2-12 RC网络如图2-43所示，其中皿地分别为网络的输入量和输出量，现要求;（1）画出网络相应的结构图；（2）求传递函数t/2（s）/g（s）,并化为标准形式；（3）讨论元件Ri，RlGG参数的选择是否影响网络的绝对稳定性。解：（1）根据图2-43所示列方程：输入回路t/. =/?,/.+(/. 4-/2)C2s1)输出回路U? +(L + 人)八C2s2)中间回路郸=(&+!)&C,s3)由式1）1L_ C2s4)tj 1 j RCs + l5 C l2C2s由式3）/2 _ RCs5)/|RC、+1由式2）(/2=-/i+(/?24-)/26)由式4),式5),式6)可画出系统结构图如图2-44所示。图 2-44(2)用梅逊公式求出：Gs x RQs>uU 2(S) RG$ + 1 RGs + ll C25)+ 1 C2sU|(s)十 R、CS 11 +x xRGs + l /?2Cry+ 1 C2sR /?9C,C，2*y2 + (R + R?)Gs +1Ri RdCC)s + (RC? + R、C + RC)s +1(3) 元件R. R2. C,.C2参数均为大于零的常数，且系统特征多项式是二阶，无论R.Ri. G. C2怎样取值，系统特征多项式系数总大于零，故不影响系统的绝对稳定性。例2-13某系统结构图2-45所示，R(s)为输入，P(s)为扰动，C(s)为输出。试：(1) 画出系统的信号流图；(2) 用梅逊公式求其传递函数C(s)/R(s)；图 2-45（3）说明在什么条件下,输出C（s）不受扰动P（s）的影响。解：（1）将图2-45中各端口信号标注出来（图2-46）,然后依之画出相应的信号流图 2-47（2）该系统有四条回路，两条前向通道。 = 1 一 一G| G2Hx-G2G3H2-Gx G2G3G4 H3-GlG5H3 =1 + GQm i + G2G3H 2 + G1G2G3G4/73 + G1G5H3p = G2G3G4Ai =1PT。,A2=lC(j)G|G2G3G4 +G|G5R(s) 1 + G|G2/| + G2G3H2 + G|G2G3G4773 + GlG5H3(3)扰动P(s)到输出C(s)由两条前向通道。P =g3g4 a, =1 + GiG2W,p2=-g.h2g5 A2=lC(s) &3&4(1 + <60)-。3叩5P(s) 1 + GG2H + G2G3H2 + GG2G3G4H 3 + GG5H3、XJs) l*(s)”3+姑 +比G(S)= =1ZTTR(s) s R(s) s(A/|S + b + -2 )(2S + * + k) - b：s例2-2如图2-3所示的RC电路，试画出其结构图，并求出其传递函数。Ui(s)C2UcXs)图2-3解:输入为Yi(b),输出为Y°(b),其他参数如图所示.根据电路定律得(直接写成频谱形式")-U(s)： = L(s)L(S)，2(S)=/(S)/(s)= = U(s)CrvU(s)_U°(s)； = /2(s)a2上述五个式子结构如图2-4Yo(o)图2-4令 竺= (),得 P(s)不影响 C(s)的条件:G4(l + G|0H|) = G5mP(s)例2-14某复合控制系统的结构图如图2-48所示。试求系统的传递函数C(s)/R(s)。图 2-48解:用梅逊公式求解。本题结构图中有六条前向通路，三个回路，回路间均有接触。 =妃心 I” 马=4+与+2S S S S S S_1 rv + 1 1 K（rv + 1）匕=A.s s s】=1TS + 3=1P.=s2- = S ScZ5 + 1 1 # + 1己=-5=4=1h=lK（公+ 1）+ Ks + $2（# + 1） + $3 一$2（公 + ）+ $2S' + $2 + Ks 4- K.TS 4- K例2-15系统结构图如图2-49所示，求C(s)/R(s)。图 2-49解：用梅逊公式求解。木题结构图有两条前向通道，六个回路，其中有一组两两互不接触回路。A = l-/7-G2-G,-G1G2-(-G3)-(-G3)J 4-(-G3)(-/)=1 + H + G+ G + G G? G3 H4=G3d=i2 =1_(_H) = 1 + H中(s)=G|G?(1 + H)G31 + G + G2 + H + G|G2 G3H例2-16系统结构图如图2-50所示，求V(.9)/C(.y)o解法一：C(s)并不是一个可自由变动的独立信号，因此直接可以写出U(s)/C(s) = "3(s)图 2-50解法二：利用梅逊公式求解。C(s) G|(s)GJs)G3(s)R(s)V(S)= G|(S)G2(S)G3(S)3(S)R(s)A冬华竺堕C(s) C(s)/R(s)例2-17设线性系统结构图如图2-51所示。试：画出系统的信号流图；求传递函数 C(s
