2024年新高考艺体生冲刺复习考点02 复数（解析版）

考点02 复数一复数的有关概念1.定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)规定：i2=-12.分类复数zabi(a，bR)3.复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)-实部等于实部，虚部等于虚部（实同虚反）4.共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)-实部相同，虚部相反数5.模：向量的模叫做复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)-实虚勾股 注意：z1z2=z1z2，z1z2=z1z2二复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系-横实纵虚三复数的运算1.运算法则：设，则加法：；减法：；乘法：；除法：方法总结：复数问题实际就是实部与虚部问题，所以只考复数只要把复数化简成复数的一般形式，然后代入相应的公式即可。四易错点1.虚部不含i2.复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可3.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，除法则需分母实数化4.两个虚数不能比较大小5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z2<0在复数范围内有可能成立考点一 复数的基本运算【例1-1】（2022·全国·统考高考真题）（    ）ABCD【答案】D【解析】，故选：D.【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知，则（    ）ABC0D1【答案】A【解析】因为，所以，即故选：A【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）（    ）AB1CD【答案】C【解析】故选：C.【例1-4】（2023·全国·统考高考真题）设，则（    ）ABCD【答案】B【解析】由题意可得，则.故选：B.【例1-4】（2023·全国·模拟预测）已知复数z满足，则（    ）ABCD【答案】D【解析】因为，由，所以，即，则.故选：D.【变式】1（2023·全国·模拟预测）（    ）A2BCD【答案】B【解析】.故选：B2（2022·全国·统考高考真题）若，则（    ）ABCD【答案】C【解析】故选 ：C3（2022·全国·统考高考真题）若，则（    ）ABC1D2【答案】D【解析】由题设有，故，故，故选：D4（2023·湖南·校联考模拟预测）若，则（    ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，所以，故选：D5（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知，则（    ）ABCD【答案】A【解析】由题意知：，则，所以：.故A项正确.故选：A.6（2023·全国·模拟预测）已知，则（    ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以. 故选：D考法二 复数的实部与虚部【例2-1】（2023·全国·模拟预测）已知，则的虚部为（    ）A4B2CD【答案】B【解析】，所以，则的虚部为2，故选：B【例2-2】（2023云南）已知，且为实数，则实数（    ）ABC1D2【答案】A【解析】因为为实数，所以.故选：A【变式】1（2023·贵州·校联考模拟预测）若，则的虚部为（    ）A1B-1CD【答案】A【解析】设，故，故，得，即，虚部为1.故选：A.2（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知，则复数的虚部为（    ）A3iBC3D【答案】D【解析】由，得，所以复数的虚部为.故选：D3（2023·全国·模拟预测）复数的实部是（    ）A1B1C0D【答案】C【解析】，故z的实部为0故选：C考点三 复数的分类【例3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）复数为纯虚数，则实数的值是（    ）A-1B1C0或-1D0或1【答案】A【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得：.故选：A.【例3-2】（2024·广东）若复数是实数，则实数（       ）AB0C1D2【答案】A【解析】依题意，因，且z是实数，则，解得，所以实数.故选：A【变式】1（2023·安徽）若为纯虚数，则实数a的值为（    ）A4B2C2D4【答案】D【解析】，因为z为纯虚数，所以，则，故选：D2（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ）A且BCD或【答案】C【解析】由复数是纯虚数，得解得:.故选:C.3.（2023·辽宁）设（i为虚数单位），若为实数，则a的值为（       ）A2BC1D【答案】A【解析】，因为为实数，所以，解得.故选：A.考法四 复数相等【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）设，则（    ）A-1B0          ·C1D2【答案】C【解析】因为，所以，解得：故选：C.【例4-2】（2022·全国·统考高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ）ABCD【答案】A【解析】由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得,即故选:【变式】1（2022·浙江·统考高考真题）已知（为虚数单位），则（    ）ABCD【答案】B【解析】，而为实数，故，故选：B.2（2022·全国·统考高考真题）设，其中为实数，则（    ）ABCD【答案】A【解析】因为R，所以，解得：故选：A.3（2023上·江苏连云港）若复数，则（   ）ABCD【答案】A【解析】由题意，解得：.故选：A.考法五 复数的几何意义【例5-1】（2023·全国·统考高考真题）（    ）A1B2CD5【答案】C【解析】由题意可得，则.故选：C.【例5-2】（2023·全国·统考高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.【例5-3】（2023·全国·模拟预测）已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（    ）ABCD【答案】D【解析】由题知， ，故选：D【变式】1.（2022·全国·统考高考真题）若则（    ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，所以故选：D.2（2023·广东·统考二模）复数z满足，则在复平面内对应的点位于（   ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】,对应点的坐标为在第一象限故选：A.3（2023·湖南）若，则在复平面内对应的点的坐标为（    ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，所以在复平面内对应的点的坐标为故选：A4（2023·河北）已知，则在复平面内对应的点在（    ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】由，得，则，故在复平面内对应的点为，在第一象限故选：A考法六 复数范围内解方程【例6】（2023·湖南郴州·统考一模）已知复数是方程的一个根，则实数的值是（    ）ABCD【答案】D【解析】由复数是方程的一个根，得，解得，故选：D.【变式】1（2023·重庆）若虚数单位是关于x的方程的一个根，则（       ）A0B1CD2【答案】B【解析】由题，是方程的一个根，所以，即，则，所以，即，所以，选：B2（2022·山东枣庄·一模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（       ）ABCD【答案】D【解析】由方程得，由求根公式得，不妨设，.，A错误；，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.3（2024黑龙江）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（       ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】设,因为,所以,所以将代入方程整理，因为关于的方程有实根，所以所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；当时，解得，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.综上，或.故这样的复数的个数为个.故选：C1（2023上·河北廊坊）（    ）ABCD【答案】D【解析】.故选：.2（2023·四川资阳·统考模拟预测）设复数，则其共轭复数（    ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，故.故选：B3（2023·全国·模拟预测）已知，则（    ）A1BCD【答案】D【解析】因为，所以.故选：D4（2023·江西景德镇·统考一模）已知，则在复平面内对应的点在第（    ）象限.A四B三C二D一【答案】A【解析】，则，所以对应点为，在第四象限.故选：A5（2023·云南大理·统考一模）复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（    ）ABCD【答案】D【解析】z在复平面对应的点是，根据复数的几何意义得，由共轭复数的定义可知.故选：D6（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知复数满足，则的虚部为（    ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，所以的虚部为.故选：A.7（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（    ）ABCD【答案】C【解析】，故复数的虚部是.故选：C8（2023·湖南永州·统考一模）复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】由得，则，即在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选：D9（2023·陕西西安·校联考模拟预测）若，则（    ）A4BCD【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B.10（2023·浙江·统考一模）若复数满足（为虚数单位），则（    ）ABCD【答案】A【解析】由，所以.故选：A11（2023·山西·校考模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】由题意可得，则复数在复平面内对应的点为，该点位