高三第一次调研考试数学理试题 含解析
高三第一次调研考试数学理试题 含解析【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、椭圆、导数、数列、三角函数的性质，立体几何等；考查学生解决实际问题的能力。一选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【题文】1、已知集合，集合，则（ ）A. B。 C。 D。【知识点】集合及其运算A1【答案】C【解析】由，则=【思路点拨】根据集合的运算得到。【题文】2、已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）A. B。 C。 D。【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】D【解析】z= =【思路点拨】根据复数运算性质得到。【题文】3、若函数的部分图象如图1所示，则A. B。 C. D。a>1, 0<b<1Oxy图11-1【知识点】指数与指数函数B6【答案】A【解析】由图象可以看出，函数为减函数，故0a1，因为函数y=ax的图象过定点（0，1），函数y=ax+b的图象过定点（0，b），-1b0【思路点拨】根据指数函数的图象和性质即可判断【题文】4、已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）A.3 B。4 C。6 D。9【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】C【解析】作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数z=2x+y可得y=-2x+z，平移直线y=-2x可知，当直线经过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得z=2x+y的最大值为6【思路点拨】作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得【题文】5已知直线，平面，且，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】空间中的平行关系垂直关系G4,G5【答案】B【解析】根据题意，分两步来判断：当时，a，且，a，又b，ab，则ab是的必要条件，若ab，不一定，当=a时，又由a，则ab，但此时不成立，即ab不是的充分条件，则ab是的必要不充分条件，【思路点拨】根据题意，分两步来判断：分析当时，ab是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，分析当ab时，是否成立，举出反例可得其是假命题，综合可得答案【题文】6、执行如图2所示的程序框图，则输出S的值为（ ）A. 16 B。25 C。36 D。49图2【知识点】算法与程序框图L1【答案】C【解析】s=0,i=1,n=1;s=1,i=2,n=3;s=4,i=3,n=5;s=9,i=4,n=7;s=16,i=5,n=9;s=25,i=6,n=11,s=36终止循环故选C.【思路点拨】由程序框图循环计算求出符合条件的结果。【题文】7、在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（ ）A. B。 C。 D。【知识点】导数的应用B12【答案】D【解析】由题意得，cosB=<,则的范围是.【思路点拨】， cosB=<,则的范围是.【题文】8、如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列，若，则（ ）A. 84 B。82 C。39 D。37【知识点】单元综合J4【答案】A【解析】由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+4×3+2+3×3+6×2=36个，四位数小于等于xx：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有2个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有3×4+6×3+2+7=39个数，小于等于xx的一共有1+8+36+39=84个，即a84=xx【思路点拨】利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论二填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分（1） 必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。【题文】9.的展开式中常数项为 .（用数字表示）【知识点】二项式定理J3【答案】【解析】=，4-2k=0,k=2 展开式中常数项为.【思路点拨】先求出通项再求常数。【题文】10. 【知识点】定积分与微积分基本定理B13【答案】18【解析】=9+2cos3+9-2cos3=18【思路点拨】根据定积分与微积分基本定理求得。【题文】11.已知向量，若，则的最小值为 【知识点】基本不等式 E6【答案】9【解析】由得=0，（）.（）=5+5=9【思路点拨】由得=0，后利用重要不等式求出。【题文】12.已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长为 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案】4【解析】抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=-1（0，1）代入圆C：x2+y2+8x+ay-5=0，可得1+a-5=0，a=4圆C：x2+y2+8x+4y-5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25，圆心到直线的距离为d=1，抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为2=4【思路点拨】求出抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=-1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长【题文】13设P是函数图象上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 【知识点】单元综合B14【答案】【解析】由题意作图如下，令y=1得，x=1，y=0；故点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；故d=。【思路点拨】由题意作图，从而可得点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；从而求解（二） 选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。【题文】14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线：与曲线相交于A，B两点，则AB 【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案】2【解析】曲线C1：化为x=曲线C2：2cos2=1化为2（cos2-sin2）=1，x2-y2=1，联立，解得|AB|=2【思路点拨】曲线C1：cos= 化为x=曲线C2：2cos2=1化为2（cos2-sin2）=1，可得x2-y2=1，联立解得即可【题文】15（几何证明选讲选做题）如图3，在中，D是AB边上的一点，以BD为直径的与AC相切于点E。若BC6，则DE的长为 图3【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案】4【解析】连结OE， BC6，则AB=12，与相似，则, ，r=4, 为直角三角形，DE为中线，所以DE=4.【思路点拨】利用三角形相似，比例关系求出DE=4.。三、解答题【题文】16、（本小题满分12分）函数（）的最小正周期是（1）求的值；（2）若，且，求的值【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】（1）-1（2）【解析】（1）的周期，即， ， 由，得，即 （2）由得， 又， ， 【思路点拨】 .【题文】17、（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站下表是某网站公布的广东省内21个城市在xx年12月份某时刻实时监测到的数据： 城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0,50)50，100）100,150)150,200)城市个数（2） 统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取个城市，省环保部门再从中随机选取个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”，求的分布列和数学期望【知识点】离散型随机变量及其分布列K6【答案】（1）略（2）【解析】（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0,50)50，100）100,150)150,200)城市频数21261 （2）按分层抽样的方法， 从“良好”类城市中抽取个， 从“轻度污染”类城市中抽取个， 所以抽出的“良好”类城市为个，抽出的“轻度污染”类城市为个 根据题意的所有可能取值为：, ， 的分布列为：所以 答：的数学期望为个 【思路点拨】根据抽样求出概率再列出分布列求出数学期望。【题文】18、（本小题满分14分）在三棱锥中，已知平面平面，是底面最长的边三棱锥的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥的直观图补充完整（其中点 在平面内），并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；（2）求二面角的正切值；（3）求点到面的距离侧视图正视图图5俯视图z图6OPyx【知识点】单元综合G12【答案】（1）和（2）（3）【解析】（
