整理微积分2复习提纲1

精品文档微积分复习提纲精品文档、多元函数微分学及其应用 1、会求多元函数的偏导数, 进而会求函数的全微分df或者梯度函数gradf 多元显函数的偏导数,见 P16例1-例3,P24习题1 多元抽象函数的偏导数,见 P28例5-例7,P36习题3 高阶偏导数,见P19例8,P24习题2,P36习题4 复合函数的偏导数,见P26例1,例3,例4, P36习题1, 22、会求由方程确定的隐函数的偏导数 “显方程确定的隐函数求偏导数,(公式法),见P34例12,P36习题6, 7 抽象方程确定的隐函数求偏导数,(直接法),见P34例13, P36习题8由方程组总y;爲确定的隐函数严y(x)的导数Z = z(x)dy dz dx ' dx(直接法：在方程两端同时对x求导,求导过程中把y,z都看做是x的函数,然后解方程组即可), 见P35例14, P37习题9由方程组F(x,y,u,v)=O确定的隐函数片u(x,y)的偏导数(直接法) ©(x, y,u,v)=Ov=v(x, y)见P37习题93、多元函数微分学的几何应用X =®(t) 空间曲线*y=©(x)在点M0(X0,y°,Z0 )处的切线方程及法平面方程,z =<o(x)见P46例1,例2, P50习题1、2 空间曲线丿F!x,y,z)=0在点M°(x0,y0,z.处的切线方程及法平面方程|G(x,y,z=0见P46例3, P50习题2 曲面F x, y,z = 0在点M° X0,y°,Z0处的切平面方程与法线方程见P46例5,例6, P50习题34、方向导数与梯度二、多元函数积分学及其应用1、二重积分的计算 步骤：1)画出积分区域D ,2) 根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分3) 化二重积分为二次积分4)做两次定积分,计算此积分的值注：多元函数对某个自变量积分的时候,要把其他的自变量看做常数直角坐标系t极坐标系选择积分次序先对y再对x积分 先对x再对y积分重为二次积分化为极坐标系下的二重 积分.I f(rcosn,rsin v) rdrd v；D化二重为二次积分注：要会做改变二次积分的积分次序,并计算此二次积分的值这种题型,见半期测试试题2、三重积分的计算 步骤：1)根据题意写出积分区域的边界曲面的方程2)根据积分区域选择适当的坐标系来计算此三重积分厂(x y)先一后二法 t用口诀"含z方程上下面,无z消z围D线"t jj dxdy £(x y) f(x,y,z)dz直角坐标系t选择积分次序/D'先二后一法 t围Dz的方程是围0的方程中将z看作常数的情况 t L dz JJ f (x, y, z)dxdyDz球面坐标系 T将三重积分化为球面坐 标系下的三重积分 T化三重积分为三次积分3)化三重积分为三次定积分4)做三次定积分,计算此积分的值3、曲线积分的计算一一化曲线积分为定积分1)第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)L f (x, y)ds步骤：写出积分弧段L的参数方程/ = x(t),并确定参数的取值范围a兰t兰by = y(t)根据L的参数方程写出弧长元素 根据L的参数方程化曲线积分f (x, y)ds为对参数t的定积分L f (x, y)ds 二f(x(t),y(t)dt2)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)l A(x, y) dl = L P(x, y)dx Q(x, y)dy方法一：直接化为定积分广步骤：写出积分弧段L的参数方程x=x(t),并确定l的起点和终点对应的参沪 y(t)数值N : AT Bt : a t b根据L的参数方程化曲线积分LA(x,y) d LP(x,y)dx Q(x, y)dy为对参数t的定积分：lA(x, y) dl = :LP(x,y)dx Q(x, y)dy = ：P(x(t), y(t) x (t) Q(x(t), y(t) y (t) dt方法二：利用曲线积分与路径无关及格林公式步骤：找出P(x, y), Q(x, y),并求 丄, cy 次假设 兰=2在一个单连通区域D上恒成立,那么曲线积分J P(x,y)dx+Q(x,y)dy cycxl与路径无关,从而我们可以选择平行于坐标轴的折线段AC > CB计算此曲线积分：LP(x,y)dx Q(x, y)dy 二 AC P(x, y)d CBQ(x,y)dy 如图选择折线段作为积分路径：y nA(a,b)B(c,d)C(c,b)利用方法一把这两个曲线积分J P(x,y)dx, L Q(x, y)dy分别化为两个定积分“AC*CB即可求出,即cdL P(x,y)dx Q(x,y)dy 二 ACP(x, y)d CBQ(x,y)d a P(t,b)dt b Q(c,t)dtFP FQ假设一在一个单连通区域D上恒成立,那么曲线积分J P(x,y)dx+Q(x,y)dycycxL与路径有关,可用格林公式求解X = t(t: ct a 和 CA>J = dx = a(t: d t b ),那么 L 与 BC,CA构 y = t成一条封闭的曲线,记此闭曲线围成的平面有界闭区域为D.如下图：添补直线段BC:利用格林公式及第二类曲线积分的垂直投影性得：L P(x, y)dx Q(x, y)dy 二 L BC CAPdx Qd BC Pdx Qdy - cAPdx Qdy：Q:Pdxdy BcP(x,y)dx Q(x,y)dyD ；x；yBCCA(如 中)abdxdy- 一 P(t, d)dt - " Q(a,t)dtD ：:x:ycd注：计算曲线积分的时候,一般先用方法一把曲线积分转化为定积分,当这个定积分不容易求解时,就改用方法二求解4、曲面积分的计算一一化曲面积分为二重积分1) 第一类曲面积分(对面积的曲面积分)iif(x, y, z)dSS步骤：将积分曲面S的方程F(x, y,z)=O改写为：z= (x, y)； 画出积分曲面S在xoy面上的投影区域D ； 根据积分曲面S的方程写面积元素：2 -dxdy = J + (：)2 +(申 y)2dxdy 化曲面积分为二重积分:H f(x,y,z)dS 二 f(x,y, (x,y) 1 - ( J)2( ：y)2dxdySD2) 第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)ffI iA(x, y, z) d S ： 11 P(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y, z)dxdySS方法一：(直接化曲面积分为二重积分)步骤：将积分曲面S的方程F(x,y,z) = 0改写为：z=F:(x,y),并指明此有向曲面S取上侧还是下侧； 画出积分曲面S在xoy面上的投影区域D ； 化曲面积分为二重积分：11 P(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdyS+ jj(P(x,y严(x,y),Q(x,y浮(x,y), R(x,y严(x,y) )(：,N；,1dxdy 当S取上侧时=.DH(P(x,y*(x,y),Q(x,y,®(x,y), R(x, y,®(x, y) )(®；, ®；,1dxdy 当S取下侧时'- D当S取上侧时当S取下侧时'+ JJ P(x, y"(x, y) (代)+Q(x, y/P(x, y) (申y )+ R(x, y/P(x, y) dxdyD-U P(x, yW(x, y)'(-申x )+Q(x, yW(x, 丫)厂(一和片 R(x, y?P(x, y) dxdyffR(x, y,申(x, y)dxdy 当 S取上侧时特别地,R(x, y,z)dxdy 二SD- R(x, y, : (x, y) dxdy 当 S取下侧时D注：1)计算出此二重积分的值就为所求的曲面积分的值;2)假设此二重积分不好计算或是积分曲面是由几个局部组成,分区面做积分比拟麻烦的 时候可以考虑利用高斯公式求解.方法二：利用高斯公式 分情况讨论：i)假设积分曲面S是一个取外侧的封闭的曲面,且P(x, y, z),Q(x, y,z),R(x,y,z)f cP SQ cR +dvL、一一r及其偏导数在此闭曲面围成的空间有界闭区域 门上连续,那么由高斯公式有:I iP(x,y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy -Sii)假设积分曲面S不是封闭的曲面,那么不能直接利用高斯公式,一般需要添补平 面二：z =c c为常数,并指明3所取的侧,使得S与匕围成一个取外侧的闭曲面,记此闭曲面围成的空间有界闭区域为11,从而：11 P(x, y, z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x, y,z)dxdyS二- P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy 11 P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdys.(cP cQ 占R ).dv 11 R(x, y, z)dxdy(此处用到了第二类曲面积分的垂直投影性). 斜 :z匕5、多元函数积分学的应用1) 1d二二D的面积(用于求平面图形的面积)D2) !1dV 的体积(用于求立体的体积)3) Jds二L的弧长(用于求曲线的弧长)4) .1dS二曲面邛勺面积(用于求曲面的面积)I5) 物理应用三、无穷级数一) 常数项级数cQ1、正项级数" 'un (Un -0)的敛散性的判定n =1步骤：1做极限limun,假设limun=O,那么此级数发散；假设lim un = 0,那么=2 nnn比拟判别法'一般形式、极限形式对一般项放缩2根据一般项的形式选择适当的方法比值审敛法 根值审敛法判断其敛散性.Q0OQ2、交错级数7 -1 nlUn或V -10 Un - 0的敛散性的判定 n 4nJ莱布尼兹判别法：找到Un做极限lim Un,假设lim Un = 0,贝U此交错级数发散；假设nn :.数收敛.lim un = 0nY,那么此交错级Un - Un 13、判断一般项级数二un Un为任意常数是否收敛,假设收敛,是条件收敛还是绝n对收敛?解：1判断 U的敛散性,n =1注： |Un是一个正项级数n=12假设|uJ收敛,那么作结论:n=1J