河南省部分重点高中2024届高中毕业班阶段性测试（七）数学试题（解析版）

20232024学年高中毕业班阶段性测试（七）数学试卷考生注意：1答题前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知：，结合复数的除法运算求解.【详解】由题意可知：，所以.故选：B.2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为或，所以.故选：C.3. 已知抛物线经过点的焦点为，则线段的中垂线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据抛物线过点E求得，可得，结合斜率公式和垂直关系运算求解.【详解】因为抛物线经过点，则，解得，可知焦点为，则直线的斜率，所以线段的中垂线的斜率为.故选：D.4. 的展开式中，的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用二项式定理写出的展开通项，再令求出，从而得解.【详解】因为展开式的通项为，令，解得，所以，则的系数为.故选：A.5. 已知函数满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可知为的对称中心，结合余弦函数对称性分析求解.【详解】因为，可知为的对称中心，则，可得，解得，且，可知：当时，取到最小值.故选：A.6. 数列是指每一项均为0或1的数列，这类数列在计算机科学领域有着广泛应用若数列是数列，当且仅当时，设的前项和为，则满足的的最大值为（ ）A. 600B. 601C. 604D. 605【答案】C【解析】【分析】根据题意结合数列周期性分析求解.【详解】由题意可知：，且，即，当时，可知，且，所以满足的的最大值为604.故选：C.7. 已知四棱锥的侧面都是边长为4的等边三角形，且各表面均与球相切，则球的半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意分析可知四棱锥为棱长为4的正四棱锥，利用等体积法求内切球半径.【详解】由题意可知：为菱形，且，知顶点在底面内的投影为四边形的外心，所以为正方形，即四棱锥为棱长为4的正四棱锥，则四棱锥的高为，设球的半径为，则，解得.故选：B.8. 已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构建，利用导数判断原函数单调性和值域，结合题意分析可知，运算求解即可.【详解】因为，则，构建，则，当时，；当时，；可知在上单调递增，在上单调递减，且，当趋近于时，趋近于，可知的值域为，由题意可知：存在，使得，则，即，解得，所以的取值范围是.故选：D.【点睛】关键点点睛：求的值域为，根据导数的几何意义分析可知存在，使得，结合值域分析求解即可.二多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 已知椭圆与椭圆，则（ ）A. 与的长轴长相等B. 的焦距是的焦距的2倍C. 与的离心率相等D. 与有公共点【答案】CD【解析】【分析】根据椭圆的长轴长、焦距、离心率的概念依次判断A、B、C选项，联立椭圆和的方程，根据是否有解判断D选项.【详解】由题意知，椭圆的长轴长为4，椭圆的长轴长为，故A错误；椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，故B错误；椭圆的离心率为，椭圆的焦距为，故C正确；由和联立可得，交点为，故D正确.故选：CD.10. 随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（ ）A. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长B. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元C. 逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大D. 2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合【答案】ABD【解析】【分析】根据图表中的数据分析判断.【详解】对A：从2017-2023年中国新能源汽车市场规模数据看新能源汽车市场规模逐年增长，故A正确；对B：数据从小到大排列为1.6，2.8，3.0，3.4，6.0，9.9，11.5，共7个数据，其中位数为第4个数据3.4，故B正确；对C：2021年增长是为，2022年增长1.6，2023年增长6.9，2024年增长4.7，从增长量上看并不是逐年增加，故无法预计2025年的增长量最大，故C错误；对D：从数据上看，市场规模前期增长缓慢，后期增长较快，故可用指数型函数模型进行拟合，故D正确；故选：ABD11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 是的一个周期B. 的值域是C. 若在区间上有最小值，没有最大值，则的取值范围是D. 若方程在区间上有3个不同的实根，则的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】根据题意整理可得：，定义域为，且为偶函数，对于A：根据周期性定义分析判断；对于B：先求在上的值域，结合偶函数和周期性分析判断；对于C：根据题意结合选项B中最值点分析判断；对于D：分析可知方程的实根即为与的交点横坐标，结合图象可得，代入结合正弦函数性质分析求解.【详解】因为，由题意可知：的定义域为，关于原点对称，且，可得为偶函数，对于选项A：因为，可知不是的一个周期，又因为，可知是的一个周期，故A错误；对于选项B：当，则，可得，因为，则，可知：当，即时，取到最小值；当，即时，取到最大值1；所以，结合偶函数和周期性可知的值域是，故B正确；对于选项C：因为，由选项B可知：，故C正确；对于选项D：方程的实根即为与的交点横坐标，作出在的图象，如图所示：由题意结合图象可知：，则，因为，则，可得，所以，故D错误；故选：BC.【点睛】易错点睛：对于选项A：要结合定义域分析函数周期性，若不考虑定义域，很容易认为选项A正确.三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 若偶函数，则实数_【答案】【解析】【分析】因为是偶函数，所以，据此即可求解.【详解】因为是偶函数，所以，所以，所以，所以.故答案为：.13. 尺规作图不能问题之一的“倍立方”问题，是指已知体积为的正方体，作一个体积为的正方体，若跳出尺规作图的限制，借助其他工具可使问题得到解决如图，作矩形，其中，以矩形的中心为圆心作圆，与的延长线分别交于点，且点共线，则即为所求正方体的棱长若，则_【答案】16【解析】【分析】根据题意分析可得，结合直线的截距式方程可得，再结合数量积的几何意义分析求解.【详解】由题意可知：，则，设，可知直线，代入可得，解得，则，可得,所以.故答案为：16.14. 在三棱柱中，四面体是棱长为2的正四面体，为棱的中点，平面过点且与垂直，则与三棱柱表面的交线的长度之和为_【答案】【解析】【分析】设，可证平面，可得平面平面，结合面面平行的性质可得平面即为平面，进而可得结果.【详解】设，取的中点，连接，可知，由题意可知：，且，平面，所以平面，又因为平面，可知平面平面，设平面，即平面平面，且平面平面，则，且为棱的中点，可知为棱的中点，同理取的中点，连接，可知平面即为平面，则，所以与三棱柱表面的交线的长度之和为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据正四面体的性质可证平面，结合线面平行的性质可得平面平面，即以平面为参考作截面，即可得结果.四解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤15. 某高科技企业积极培养国内产业链，委托甲乙两家工厂生产某型号元器件，已知甲乙两工厂生产该元器件的产量之比为，次品率分别为，次品以外的元器件为正品（1）从甲乙两工厂生产的所有该元器件中随机抽取1个，求抽取的元器件是正品的概率；（2）该高科技企业对8个元器件进行质检，其中有3个来自甲工厂，5个来自乙工厂，从这8个元器件中随机抽取2个，放回后再随机抽取2个，求抽取的4个元器件恰好有3个来自乙工厂的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意结合全概率公式分析求解；（2）由题意可知：其中一次抽取的2个元器件都来自乙工厂，另一次抽取的2个元器件恰有1个来自乙工厂，根据独立事件概率乘法公式结合组合数运算求解.【小问1详解】记“抽取的1个元器件来自甲厂”为事件，“抽取的1个元器件来自乙厂”为事件，“抽取的1个元器件是正品”为事件B，可知，则，所以抽取的元器件是正品的概率为.【小问2详解】若抽取的4个元器件恰好有3个来自乙工厂，可知：其中一次抽取的2个元器件都来自乙工厂，另一次抽取的2个元器件恰有1个来自乙工厂，所以抽取的4个元器件恰好有3个来自乙工厂的概率.16. 已知数列的前项和满足（1）求证：是等差数列；（2）若当且仅当时，最大，比较与的大小【答案】（1）证明见详解 （2）【解析】【分析】（1）根据与之间的关系可得，则，两式相减得，即可证明；（2）根据题意结合等差数列分析可知，解得，结合等差数列性质分析判断.【小问1详解】因为，则有：若，则，即；且，两式相减得，即，则，两式相减得，所以是等差数列.【小问2详解】设等差数列的公差为，由题意可知：，即，解得，则，且，所以.17. 如图，平面与平面垂直，四边形是边长为1的正方形，四边形是等腰梯形， ，三棱锥的体积为（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）在平面内作，交于Z，求得，建立空间坐标系，分别求出平面与平面的法向量证明垂直；（2）分别求出平面与平面的法向量，用向量法求解.【小问1详解】在平面内作，交于Z，平面与平面垂直，平面平面，平面平面，又平面， 因为，所以到平面的距离为，因为三棱锥的体积为，所以，所以，因为四边形是等腰梯形， ，所以，以为坐标原点，以为轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量，由得设平面的一个法向量，由得， 平面平面；小问2详解】设平面的一个法向量为由得， 二面角的正弦值 18. 已知双曲线只经过点，中的两个点（1）求的方