江苏省盐城市五校联考2023-2024学年高二下学期第一次学情调研检测（3月）数学（解析版）

2023/2024学年度高二年级第二学期联盟校第一次学情调研检测数学试题（总分150分 考试时间120分钟）注意事项：1本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分2答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上3作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损第卷（选择题 共58分）一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项）1. 已知向量，且，那么实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行关系可知，由向量坐标运算可构造方程求得结果.【详解】，解得：.故选：B.2. 已知向量则的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算求解.【详解】由题可得，故选:B.3. 如图，在四面体OABC中，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，根据空间向量的线性运算计算求解.【详解】连接，是的中点，.故选：B 4. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）A. B. C. D. 6【答案】B【解析】【分析】根据离心率的公式，求解，再根据方程求椭圆的长轴长.【详解】由条件可知，则，由条件可知，得，所以，椭圆的长轴长.故选：B5. 若数列满足，则（ ）A B. 11C. D. 【答案】D【解析】【分析】探索数列的周期性，根据数列的周期性求指定项.【详解】因为.所以数列周期为3的数列.所以，所以，故.故选：D6. 已知空间向量，0，2，则向量在向量上的投影向量是（ ）A. ，2，B. ，2，C. ，0，D. ，0，【答案】C【解析】【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案.【详解】解：向量，0，2， ，则， ，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.7. 已知长方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量法求解异面直线所成角即可.【详解】依题意，建立如图的空间直角坐标系，则，设异面直线与所成的角为，则故选：B8. 如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，设，则，则，因为平面，则，解得，故，则，而函数在取到最小值，在时，取最大值2，故，故选：D二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项）9. 下列命题中正确的是（ ）A. 与夹角为钝角，则的取值范围是B. 在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点对称点的坐标为C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面D. 任意空间向量满足【答案】BC【解析】【分析】利用空间向量的概念与运算性质逐一判断即可.详解】对于选项A：由，可得，解得；由共线可得，即有，解得，所以的取值范围是，且，故A错误；对于选项B：点，点关于坐标原点对称点的坐标为，故B正确；对于选项C：，满足，故四点共面，故C正确；对于选项D： 表示与共线的向量，表示与共线的向量，二者不一定相等，故D错误.故选：BC.10. 已知函数，下列说法正确的是（）A. 的单调递减区间是B. 在点处的切线方程是C. 若方程只有一个解，则D. 设，若对，使得成立，则【答案】BD【解析】【分析】对函数求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC，对应选项D，设函数的值域为，的值域为G，由求解判断.【详解】函数，令，得或；令，得；可得函数在和上单调递减，在单调递增，其大致图象如图： 对于，由上述分析可得A错误；，由，得，所以切线为，故B正确；对于C，由方程只有一解，由图象可知，或，故C错误；对于D，设函数的值域为，函数的值域为，对于， ，对于，若，使得成立，则，故D正确，故选：BD.11. 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ）A. 当为的中点时，异面直线与所成角为B. 当平面时，点的轨迹长度为C. 当时，点到的距离可能为D. 存在一个体积为圆柱体可整体放入内【答案】ACD【解析】【分析】根据几何体的特征，化空间为平面，逐个推理，计算分析.【详解】 因为为正方形，连接与，相交于点，连接，则，两两垂直，故以为正交基地，建立如图所示空间直角坐标系，为的中点，则.当为的中点时， ，设异面直线与所成角为，故，A正确；设为的中点，为的中点，则，平面，平面，则平面， 又平面，又，设，故平面平面，平面平面，平面平面，则，则为的中点，点在四边形内（包含边界）运动，则，点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，B不正确； 当时，设，得，即，即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如下图），到的距离为，弧上的点到的距离最小值为，因为，所以存在点到的距离为，C正确； 由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为，高为，为的中点，为的中点, ， 根据相似，得，即，则圆柱体积，设，求导得，令得，或，因为，所以舍去，即，当时，当时，即时有极大值也是最大值，有最大值，故所以存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：异面直线所成的角；线面平行性质；空间点的轨迹，圆柱的体积计算，利用导数求体积的最值.第卷（非选择题 共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）12. 已知，则_【答案】【解析】【分析】利用数量积坐标运算公式求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：.13. 若向量，则_.【答案】.【解析】【分析】求出向量的坐标后，即可求出模.【详解】解：由题意知，则.故答案为:.【点睛】本题考查了空间向量坐标运算，考查了向量的模的求解.14. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，.若，则_；若，则_.【答案】 . ， . 【解析】【分析】当，时，利用构造法可得出数列是等比数列，求出，进而得出；当时，由题目中的递推关系式可得，即可求解.【详解】当，时，即，则数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，即.当时，即，且，.因为，所以由，可得：，.因为，所以，则.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合，数列的通项公式及前项和.利用构造法即可求解第一空；借助递推关系式得出，是解答第二空的关键.四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知向量，O为坐标原点，点（1）求；（2）若点E在直线AB上，且，求点E的坐标【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由空间向量坐标运算计算可得，（2）根据题意先求出，在利用，计算可得.【小问1详解】，则故【小问2详解】点E在直线AB上，则可设，即，解得故点E的坐标为16. 等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【详解】(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.因为所以.解得a11，d.所以an的通项公式为an.(2)bn，所以Sn17. 已知函数在处取得极值（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意得，代入求值即可得答案；（2）根据导数研究函数的单调性与极值，求端点函数值，从而求出函数的最小值【小问1详解】函数，又函数在处取得极值，所以有；所以实数的值为，经检验符合题意；【小问2详解】由（1）可知：，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以在上的最小值为和中较小的一个，又，故函数的最小值为.18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，M为棱PC的中点（1）证明：平面PAD；（2）若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在，【解析】【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，得证；（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面距离的向量法求解即可.【小问1详解】取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：M为棱PC的中点，四边形ABMN是平行四边形，又平面PAD，平面PAD，平面PAD【小问2详解】，平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，平面ABCD，又AD，平面ABCD，又，由，以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则，M为棱PC的中点，（i）设平面BDM的一个法向量为，则，令，则，平面PDM的一个法向量为，根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为.（ii）假设在线段PA上是存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，设则，由（2）知平面BDM的一个法向量为，点Q到平面BDM的距离是，19. 已知点为双曲线上的动点.（1）判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由；（2）（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；（ii）将双曲线的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若为双曲线上一点，直线：与的两条渐近线分别交于点，则为线段的中点.【答案】（1）1个，理由见解析； （2）（i）过双曲线上一点的切线方程为；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1