数学与应用数学毕业论文数学的类比思想方法及其教育功能

梧州学院毕 业 论 文论文题目 数学的类比思想方法及其教育功能系 别 数理系 专 业 数学与应用数学 班 级 数学1班 学 号 学生姓名 指导教师 完成时间 2011 年 3 月梧州学院制摘要随着教育改革的深入，学生素质教育，创新能力的培养越来越受教育界的关注。数学教育对学生的成才培养起着至关重要的作用。而类比似乎在一切发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用。因此类比作为一种数学思想方法正为越来越多的数学家所研究。随着数学类比思想方法研究与应用的推广，类比思维也越来越多的渗入到数学教育改革及社会建设的各个方面。本文主要论述类比思想方法在数学解题应用技巧，数学教育功能方面的内容。从了解数学类比思想的解题应用技巧及其思想功能，到对类比解题和类比思维作用进行分析，再进一步探讨数学类比思想在数学教育及素质教育中的功能。 为了清晰的叙述类比思想方法的内涵及应用功能，本文将要论述的内容分为四部分，叙述的各部分内容是逐渐深入展开的。本文对类比思维进行探索得出的结论是可靠的，在不同场合都是适用的。 关键词：类比思想 类比方法 类比解题 类比功能 Mathematical thought method and its education function analogyAbstract With the deepening of the reform of education, students' quality education and cultivation of innovative ability is more and more suffer educational circles the attention. The education of mathematics plays a vital role in cultivating students' stone-sculpture. The analogy seems to have effect in all discoveries and in some discovery has its biggest effect. Therefore, the analogy as a mathematical way of thinking is researched by more and more mathematicians. With the promotion of researching and applying mathematics analog ideology, analogical thought also has more and more entered into education reform and mathematical all aspects of social construction. This paper mainly describes the content of the skills used of analogy thought method in mathematics problem-solving and mathematics education function. Through understanding the mathematical problem solving skills used analogy thoughts of ideological function, to analyses the analogy problem solving and analogical thought effect, and then further explores the function of mathematical thoughts in mathematics education and quality education. In order to clearly describe the connotation and function of analogy thinking method, this essay divide the contents of treatise into four parts, describing each section of the content are gradually expanded. The conclusion of this paper obtained from exploring the analogical thought is reliable. It is suitable in different situations. Keywords: analogy thought; analogy method; analogy problem-solving; analogy role 目录一、关于类比的定义，什么叫类比（一）、定义 1（二）、定义的解析 1二、类比思想方法在解题中的应用（一）.类比在函数中的应用1、类比证明函数 12、类比解函数题 2（二）.类比在数列中的应用1、类比思想在数列解题中的探索应用 32、类比思想在数列求和中的应用 4（三）.类比在几何中的应用1、在几何证明中的应用 52、在几何解题中的应用 6（四）、类比在其他综合题的应用例1，例2； 7（五）、总结 9三、类比的局限性 9四、类比的思想方法及教育功能（一）.类比的思想方法：1,2,3； 10（二）.类比思想方法的教育功能1,2,3,4,5； 10参考文献 142一、关于类比的定义，什么叫类比（一）、定义关于类比的定义解释，版本很多。以下所摘述的是我们今天所看到的关于类比定义描述的两种版本：1.所谓类比，是通过两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或类似之处，推断出它们在其它方面也可能相同或类似的一种推理方法。52.类比是根据两个对象具有某些相同的属性而推出当一个对象具有另外一个性质时，另一个对象也具有这一性质的一种推理方式。类比的实质就是信息从模型向原型的转移。6（二）、定义的解析在波利亚看来：“类比是某种类型的相似性。我们可以说它是一种要确定的和更概念性的相似。但是我们可以把话说得更确切些。类比和其他类型的相似性之间的本质差别，在我看来在于思考者的意图。相似对象彼此在某些方面带来一致性。假如你想把它们的相似之处化为明确的概念，那么你就把相似的对象看成是可以类比的。假如你成功地把它变成清楚的概念，那么你就阐明了类比的关系。” 3由上面两种类比定义的叙述，结合波利亚的描述，我们看到，对类比所下的定义，有认为类比是一种推理方式方法的，也有的认为类比是一种思维过程。其实对类比下定义是一个什么样的过程，如何下定义，我们的探究还是相对较少，也没有比较具体的描绘过这方面的内容。或许是由于像类比这样抽象的概念本来就应该用其性质来阐述的。定义与性质在很多情况下，都是抽象概念下定的相互依据。因此，关于类比定义的下定，也就应该由其性质出发，由其性质来下定义。而类比思维的成型是理性与感性认识交织成长的思维模式的形成。人的类比思维是与其成长经验所积累的类比物有很大关联的。人所积累的类比物越多，那么其运用类比思维的思维方式就会越多，从而渐渐形成特定的类比思维模式，也就是类比思维的成型了。类比思维的延伸是在对类比思维的运用过程中所衍生出来的思维模式的泛指，并没有过确切的界定或者描述。是比较含糊抽象的提法来的，与其说是类比的延伸，不如说是类比的联想构造与复杂运用过程。二、类比方法在解题中的应用（一）.类比在函数中的应用1、类比证明函数例1.1.1，已知R,a为正常数，且函数满足=，求证是周期函数。5分析：要求证一个函数是周期函数，通常是通过观察估算出它的一个周期，然后利用周期函数的定义或者性质加以证明。本题想要通过观察，直接得出它的一个周期并不容易。而观察一个函数的周期，常常需要运用类比思维，将该函数的式子形式联系与其有相同形式的函数进行对比。从相似周期函数形式的周期推测该函数的可能周期，再进行证明，才有可能尽快得出结论。在这里，我们如果将已知条件与tan(x+)= 进行比较，可发现它们结构上十分相似而函数tanx的周期为，是的4倍。类比此函数式，我们即可猜想4a是函数的一个周期，从而展开证明。证明：=f(x+2a)=f(x+a)+a= f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x)即证得4a是函数的一个周期，函数是一个周期函数.2、类比解函数题例1.2.1，已知实数x,y满足方程=,问点P(x,y)的运动轨迹是什么. 5分析：本题若一开始进行平方运算，将会使得解题很难堪。如果对等式两边分别作形式类比就会发现可表示动点P到定点（1,0）的距离，而与动点P到定直线x-y+3=0的距离有一定的类似形式。故：=表示动点P到定点（1,0）的距离与它到定直线x-y+3=0的距离之比为定值，所以点P的运动轨迹为双曲线（平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹为双曲线, e>1）。（二）.类比在数列中的应用1、类比思想在数列解题中的探索应用例2.1.1，求前n个 自然数的平方和.2思路分析： 我们观察前几项的和，不能发现什么规律，转而想到与=1+2+n 在形式上的某些相似之处，而=n(1+n)，我们不妨将n，联系起来考虑看能否发现新的线索：n12345136101515143055我们先看看是如何得到的，将第二行与第一行对应数作比，可得：=；=；=；=；从中我们可以发现规律=，由此可得=n(1+n)，这是我们已有的结果.这个方法使我们看到新的希望，由此我们可以尝试用类似的思路求.将第三行与第二行对应数作比，可得：=；=；=；=；=；。再观察，很容易得出规律：=，于是得：=n(n+1)(2n+1).这便是我们所要寻找的结果，当然类比得到的结论还应该要进行严格证明，这道题只要用数学归纳法便可以证得结论，这里不再赘述。同时由上述，的求解思路，我们可以进一步探求，。它们是否也有类似的关于n的关系式。不妨再将， ，联系起来再进行探索：n1234515143055193610022511798354979将第三行与第二行对应数作比，可