高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第二项式定理（第 1 1 课时）课时）一、内容和内容解析一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明内容解析：本节是高中数学人教 A 版选修 23 第一章第 3 节的内容二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值教学中应当引起充分重视二、目标和目标解析二、目标和目标解析目标：（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养 目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法 （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析1教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可以让学生快速得到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上2教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题这不仅是本节课的重点，也是教学难点解决方案：通过比较多项式展开112233()()()ababab式中项与项的异同点，得出的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容()nab3教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题学生很容易把发现二项式展开式的过程就当成二项式定理的证明过程二项式定理的证明可以用数学归纳法，但难度较大较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明解决方案：通过对的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式3()ab进行刻画基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律四、教学策略分析四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台因此，在教学过程中使用 TI-图形计算器既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试五、教学过程与设计五、教学过程与设计教教 学学 环环 节节问题或任务问题或任务师生活动师生活动设计意图设计意图回回 顾顾 前前 知知引引 出出 猜猜 想想问题问题 1有人说有人说的展开式中的展开式中70(1)x有有项，你认为对项，你认为对47x吗？若有，它的系数吗？若有，它的系数是多少？是多少？问题问题 2为了解决问题为了解决问题1，需要用到，需要用到的展开，你认的展开，你认()nab为这个展开式式会怎为这个展开式式会怎样呢？样呢？教师教师 1： 提出问题提出问题 1 学生学生 1：学生思考 教师教师 2：提出问题：提出问题 2 学生学生 2：学生思考教师教师 3：观察：观察、1()ab2()ab3()ab、的展开式，你能得到哪些规的展开式，你能得到哪些规4()ab5()ab律？律？ 学生学生 3：利用图形计算器 CAS 的 expand()函数，得出、的展开3()ab4()ab5()ab式教师教师 4：根据你所计算的结果，填对应表格：根据你所计算的结果，填对应表格学生学生 4：发现项数、项的次数、项的系数并猜想：1 01()nnnn kkn knabaababb问题引入提出问题引导学生通 过对特殊情 形的观察， 归纳猜想一 般情形的基 本特征教师引导， 学生根据所 得具体的展 开式，从展 开式中的项 数、项的次 数、项的系 数等角度进 行归纳，并 根据归纳所 得猜想一般 的展开式的 结果 学生体会由 特殊到一般 的归纳猜想 的过程探探 寻寻 规规 律律获获 得得 结结 论论问题问题 3 猜想一：猜想一：1 01()nnnn kkn knabaababb中的中的？k教师教师 5：提出问题：提出问题 3 学生学生 5：引起思考，并提出想法 教师教师 6：提出问题：提出问题： 在在中，中，33223 0123()abaa babb为什么为什么“，”？01132331学生学生 6：展开式计算，寻找答案 教师教师 7：提出问题：提出问题：与与是什么是什么3()ab112233()()()ababab关系？关系？学生学生 6：当,123aaaa时，123bbbb3 112233()()()()abababab教师教师 7：提出问题：提出问题：探究探究展开式的特展开式的特112233()()()ababab点点 学生学生 7：利用图形计算器的 CAS 功能中expand()函数，得出的112233()()()ababab展开式教师教师 8：引导学生分析：引导学生分析展开式的各项，并提展开式的各项，并提112233()()()ababab出问题在展开式中为什么没有出问题在展开式中为什么没有项，项，1 12a ba等项？等项？12a a学生学生 8： 学生根据所得的计算结果，观察得一般问题回 到特殊情形 进行研究把问题回到 已知的结构 进行处理学生通过计 算器得到计 算结果教师通过引 导学生对展 开式各项构 成的观察， 得到项的构 成到展开式的项的特点：展开式中的每一项是由每个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的教师教师 9：通过表格呈现特殊：通过表格呈现特殊与与3()ab的展开式的的展开式的112233()()()ababab并提出问题：并提出问题：中，中，33223 0123()abaa babb为什么为什么？13学生学生 9： 展开式中的项是由3()ab23a b展开式中的项，112233()()()abababa a b123，去掉足码得到 ，a b a123b a a123aababa后合并同类项得到从三个括号中的一baa个括号选择“”剩余两个括号选择“”构ba成的，因为从三个括号中的一个括号选择“” ，一旦确定哪个括号选“” ，剩余两个bb括号选择也就确定了，因为“”有三种选择，b所以对应同类项的个数就为 ，即“”的32a b系数为 3教师教师 10：能否用计数模型进行解释？：能否用计数模型进行解释？学生学生 10：“”可以看成是从三个括号中2a b选择一个括号选“” ，剩余两个括号选择b“” ，完成这件事的所有可能，要做这件是，a我们可分成两步来完成：第一、从三个括号中选择一个括号选“” ，有种选择；第二、b1 3C剩余两个括号选择“”就种选法，故a2 21C 有种选法，所以，依此可11 331CC 1 13C通过特殊与 一般的项的 关系对比， 得到对系数 意义的理 解根据展开式 系数即同类 项的个数这 一结论，引 导同学们通 过一般到特 殊，用组合 计数模型对 各项系数进 行研究以得到其它系数的组合数形式：303122233 3333()abC aC a bC abC b教师教师 11：根据所得：根据所得展开式的规律，你展开式的规律，你3()ab能否得猜想能否得猜想的展开式中的展开式中()nab的值？的值？01,kn 学生学生 11：011()nnnkn kk nnnnn nabC aC abC abC b得到展开式 系数的猜 想证证 明明 定定 理理明明 晰晰 概概 念念问题问题 3 你能证明你能证明011()nnn nnkn kknn nnabC aC abC abC b吗？吗？()Nn教师教师 12：提出问题：提出问题 3学生学生 12：提出想法教师教师 13：你认为证明问题：你认为证明问题 3，关键是几步？，关键是几步？学生学生 13：（1）项的结构；（2）项的系数教师教师 14：证明：是个相乘，()nabn()ab根据多项式的乘法，展开式每一项都满足（） n kkab0,1, kn对项（）看成问题：n kkab0,1, kn从个括号中选择个括号选“” ，剩余nkb括号选择“” ，相乘而成可这样设计计数a模型，要做这件事，可分成两步来完成：第一、从个括号中选择个括号选“” ，nkb有种选择；k nC第二、剩余括号选择“”就种选法，a1n k n kC 由归纳猜想 到理论证 明 引导提炼学 生提炼证明 要点强调规范表 达问题问题 4 从数列的角从数列的角度看二项式展开式，度看二项式展开式，你能获得什么认识？你能获得什么认识？ 问题问题 5你能你能根据根据的展开式得出的展开式得出()nab的展开式吗？的展开式吗？()nab课堂练习课堂练习 1(1)求求的展开式；的展开式；(1)nx(2)求求的展的展61(2)xx开式开式课堂练习课堂练习 2 求求展开式中展开式中91()xx根据分步计数原理有种选法1kk nnCC 所以，项的同类项有，故的n kkabk nCn kkab系数为（） k nC0,1, kn所以，展开式每一项满足()nab（） kn kk nC ab0,1, kn教师教师 15：上述公式叫二项式定理，展开式共：上述公式叫二项式定理，展开式共有有项，其中各项的系数项，其中各项的系数（1nk nC）叫做二项式系数）叫做二项式系数0,1, kn教师教师 16：提出问题：提出问题 4学生学生 14： 二项展开式可以看成是一个数列的和，数列的通项公式是，表示数列第kn kk nC ab项1k 教师教师 17：二项式展开式的通项是展开式中第：二项式展开式的通项是展开式中第项：项：1k 1kn kk knTC ab 学生学生