云南省昆明市2023届“三诊一模”高三复习教学质量检测数学（解析版）

昆明市2023届“三诊一模”高三复习教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数求解集合B，再求交集即可得结果.【详解】由题意可得：，故.故选：A.2. 欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断【详解】由题意可得：对应点为，则，故位于第二象限.故选：B.3. 某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图：根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（ ）A. 该单位职工一天中各次作答平均分保持一致B. 该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致C. 该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差D. 该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差【答案】D【解析】【分析】根据给出统计图数据，分别计算出三次作答的平均分、正确率、极差、标准差，即可作出判断【详解】由题可得，该单位抽取的10位员工三次作答的得分分别为：1号员工2号员工3号员工4号员工5号员工6号员工7号员工8号员工9号员工10号员工第一次作答65808580909090859090第二次作答80859090959095909595第三次作答8590959510010010095100100对于A：第一次作答的平均分为：，第二次作答的平均分：，第三次作答的平均分：，故该单位职工一天中各次作答的平均分不一致，故A错误；对于B：第一次作答的正确率： ，第二次作答的正确率： ，第三次作答的正确率： ，故该单位职工一天中各次作答的正确率不一致，故B错误；对于C：该单位职工一天中第三次作答得分的极差：，该单位职工一天中第二次作答得分的极差：，故该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C错误；对于D：该单位职工一天中第三次作答得分的标准差：，该单位职工一天中第一次作答得分的标准差：，故该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差，故D正确，故选：D4. 已知和均为等差数列，则数列的前50项的和为（ ）A. 5000B. 5050C. 5100D. 5150【答案】B【解析】【分析】由题设易知为等差数列，结合已知求公差，应用等差数列前n项和公式求和即可.【详解】由题设也为等差数列，且公差为、公差的和，又，故，所以前50项和为.故选：B5. 已知直线与圆：交于两点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据垂径定理求弦长，再结合余弦定理运算求解.【详解】圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则，可得，且，.故选：D.6. 函数在区间上的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性排除B、D，再取特值排除C.【详解】对于函数，故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；又，且，故，C错误；故选：A.7. 已知函数，的定义域均为，为偶函数且，则 （ ）A. 21B. 22C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意证明，结合对称性分析运算即可.【详解】为偶函数且，则，故关于点对称，又，则，则是以周期为4 的周期函数，故关于点对称，则，又，则，故.故选：C.8. 某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（ ）A. B. 8C. D. 9【答案】B【解析】【分析】设，借助于圆锥的轴截面分析可得，利用柱体体积公式可求得，求导，利用导数求最值.【详解】显然当正四棱柱的上底面顶点在圆锥表面时的体积较大，如图，借助于圆锥的轴截面，由题意可得：，设底面对角线，则，可得，故该正四棱柱体积，构建，则，当时，；当时，；则在上单调递增，在上单调递减，故该正四棱柱体积的最大值为8（）.故选：B.【点睛】方法定睛：利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求导：求函数的导数f (x)，解方程f (x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f (x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9. 已知，设，则下列正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 以，为邻边的平行四边形的面积为D. 若，则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】对A、B、C：根据平面向量的数量积分析判断；对D：根据题意求得点C的轨迹方程，结合圆的性质分析判断.【详解】对A：若，则，可得，注意到，可得，A错误；对B：若，且，则，则，故，B正确；对C：以，为邻边的平行四边形的面积，则，即，则有：当时，则，故；当时，则，故；当时，则，故；综上所述：以，为邻边的平行四边形的面积为，C正确；对D：不妨设，则，可得，则，整理得，点的轨迹为以为圆心，半径的圆又，由圆可知，故的最大值为，D正确；故选：BCD.10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，过原点的直线与双曲线交于两点，若四边形为矩形且，则下列正确的是（ ）A. B. 的渐近线方程为C. 矩形的面积为D. 的斜率为【答案】AD【解析】【分析】对A、C：根据题意结合双曲线的定义可求得，分析运算；对B：由，可得，进而可求的渐近线方程；对D：利用余弦定理可求，进而可求，注意结合双曲线的对称性分析判断.【详解】不妨设点在第一象限，如图，由题意可得：四边形为平行四边形，由双曲线的定义可得：，则，对A：四边形为矩形，则，A正确；对B：由选项A可得：，则，注意到双曲线的焦点在x轴上，则的渐近线方程为，B错误；对C：矩形的面积为，C错误；对D：可知：，则，且，可得，故，由双曲线的对称性可得：的斜率为，D正确；故选：AD.11. 三棱锥中，平面，记，则下列正确的是（ ）A. B. C. D. 若，则与平面所成的角为【答案】BCD【解析】【分析】根据题意结合线面垂直可证，利用直角三角形的余弦值的定义与取值范围分析可判断A、B、C；对D：建系，利用空间向量求线面夹角可得，根据题意分析判断.详解】平面，且平面，则，平面，平面，由平面，可得，设，则，可得，故，即，则，故A错误，B、C正确；如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，即，设与平面所成的角为，则，当时，即，则，即，此时，则，即与平面所成的角为，D正确.故选：BCD.12. 对于函数，若存在两个常数，使得，则称函数是“函数”，则下列函数能被称为“函数”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】对A：根据题意结合指数幂运算分析判断；对B：根据题意整理得，分析判断；对C：根据题意整理得，分析判断，对D：根据题意结合两角和差的正切公式运算分析.【详解】对A：若，则，即存在两个常数，使得使得成立，故为“函数”，A正确；对B：若，则，若为定值，则，解得，且，故存在两个常数，则为“函数”，B正确；对C：若，则不为定值，即不存在两个常数，使得，不为“函数”，C错误；对D：若，则，若，即，可得，解得，即存在两个常数，使得使得成立，故为“函数”，D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：对于新定义问题要充分理解定义，严格按照定义的要求推理、运算，注意区别我们已学的相近知识.该题型重点考查学生的思维逻辑能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是_【答案】3【解析】【分析】求导，令，得到，再根据，且求解.【详解】解：因为函数，所以，令，得，因为，且，所以，当时，则单调递增，当时，当时，；当时，所以不单调递增，所以正整数的最小值是3，故答案为：314. 一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为_【答案】【解析】【分析】首先求出男女生各1名的概率，再应用对立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后应用条件概率公式求概率.【详解】若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为，而，故.故答案为：15. 已知的部分图象如图所示，为的图象上两点，则_【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到，从而得到，根据得到，再计算即可.【详解】因为，为的图象上两点，所以，解得，即.所以.又因为，所以或，即或，因为，所以，即.故答案为：16. 已知抛物线：的焦点为，经过抛物线上一点，作斜率为的直线交的准线于点，为准线上异于的一点，当时，_【答案】#【解析】【分析】根据题设条件确定在第一象限内，且，设且，结合得到关于m的方程并求值，又即可得结果.【详解】不妨令为过点垂直于准线的垂足，又，即为角平分线，是斜率为的直线与抛物线准线的交点，则在第一象限内，而，且，根据角平分线性质知：，如上图示，令且，则直线为，令，则，由，整理可得，则，故.故答案为：四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. “不以规矩，不能成方圆”，出自孟子·离娄章句上“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，满足（1）求；（2）若的面积为