广西南宁市2024届高三3月第一次适应性测试数学试题（解析版）

南宁市2024届普通高中毕业班第一次适应性测试数学试卷注意事项：1满分150分，考试时间120分钟.2考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，若，（i为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】由可得，结合故，故选：D2. 已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据子集的概念求得参数的值可得【详解】时，满足题意，时，得，所以或，或，所求集合为故选：D3. 已知数列的首项（其中且），当时，则（ ）A. B. C. D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】逐项计算得出数列的周期进而可得.【详解】，故数列的周期为3.故.故选：B4. 展开式中的常数项为（ ）A. 60B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，求得，令，求得，由于，故其展开式中常数项为故选：C5. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，得到，得到点为线段的中点，得出为直角三角形，且为等边三角形，进而求得向量在向量上的投影向量.【详解】由，可得，所以，即点为线段的中点，又因为的外接圆圆心为，所以为直角三角形，所以因为，可得，所以为等边三角形，故点作，可得，所以，因为向量在向量同向，所以向量在向量上的投影向量为.故选；A.6. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则文曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据对称性可判断四边形为平行四边形，即可利用相似求解.【详解】设为双曲线的左焦点，由于直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，所以与关于坐标原点对称,又是的中点，故四边形为平行四边形，故故，故，故选：B 7. 在边长为4的菱形中，将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求，进而利用线面垂直可判断点轨迹为，求解周长即可【详解】连接、，交于点，连接，为菱形，所以，所以为二面角的平面角，于是，又因为，所以，取中点，取中点，连接、，所以、，所以、，相交，所以平面，所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为，因为，所以的周长为，所以点轨迹的长度为故选：A8. 已知函数的定义域为，且当时，则（ ）A. B. 是偶函数C. 是增函数D. 是周期函数【答案】C【解析】【分析】对A，令求解即可；对B，令化简可得即可；对C，设，结合题意判断判断即可；对D，根据是增函数判断即可.【详解】对A，令，则，得，故A错误；对B，令，得，由整理可得，将变换，则，故，故，故是奇函数，故B错误；对C，设，则，且，故，则.又，是奇函数，故是增函数，故C正确；对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误.故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 下列说法中，正确的是（ ）A. 一组数据的第40百分位数为12B. 若样本数据的方差为8，则数据的方差为2C. 已知随机变量服从正态分布，若，则D. 在独立性检验中，零假设为：分类变量和独立基于小概率值的独立性检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立【答案】BC【解析】【分析】对A，根据百分位数的定义求解即可；对B，根据方差的公式推导数据的方差与的方差关系求解即可；对C，根据正态分布的对称性推导即可；对D，由独立性检验的性质判断即可.【详解】对A，由于共10个数据，且，故第40百分位数为第4，5个数据的平均数为，故A错误；对B，设数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为，方差为，所以，故B正确；对C，则，即，由正态分布的性质可得，故C正确；对D，在独立性检验中，零假设为：分类变量和独立基于小概率值独立性检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立.故D错误.故选：BC10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ）A. 关于的函数是偶函数B. 若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30C. 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D. 若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米【答案】BCD【解析】【分析】对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B，根据代入解析式可得，或，进而可判断；对C，求解即可；对D，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，进而可得劣弧的弧长.【详解】对A，由题意，所以，当时，可得，所以，故，所以是非奇非偶函数，故A错误；对B，由题意，即， 即，所以，或，即或，故B正确；对C，由题意，即，即，所以，解得.所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确；对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是，故（m）.故D正确.故选：BCD11. 已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的直线，与交于、Q两点，与交于、N两点，的中点为的中点为，则（ ）A. 当时，B. 的最小值为18C. 直线过定点D. 的面积的最小值为4【答案】AD【解析】【分析】设直线和的方程，与抛物线方程联立，再利用焦半径公式求解弦长，结合基本不等式判断AB，利用两点求出直线方程，求解直线恒过定点判断C，将面积分割，结合韦达定理，再利用基本不等式求解最值判断D.【详解】对于A，由题意得，设直线方程，则方程为，联立直线方程与抛物线方程得.则，同理，又，所以，所以，所以，故A正确；对于B，由A知，所以，当且仅当，即时，等号成立.故B错误；对于C，由A知，所以直线GH：，令得，所以直线GH恒过定点，故C错误；对于D，由C知直线GH恒过定点，所以，当且仅当时，等号成立.故D正确；故选：AD 【点睛】思路点睛：1.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题；2.一般涉及三角形面积问题时，采用面积分割法，结合韦达定理，利用基本不等式法求解范围或最值.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为_.【答案】.【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.，.故答案为:.【点睛】本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题.13. 已知，则_【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得，进而可得.【详解】由题意，且，故.故.故，.故答案为：14. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解.【详解】因为，所以，若，则时，故在上单调递减，时，故在上单调递增，所以当时，有最小值，满足题意；若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意；综上，所以实数的取值范围为.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率；（2）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望.【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望是【解析】【分析】（1）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可；（2）由题设的可能值为3，4，5，6，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望.【小问1详解】记“摸出球的结果是一红一白”为事件A，“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件，则，由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为.【小问2详解】由题意，的可能值为3，4，5，6.，.所以的分布列为3456所以.16. 如图，四棱柱的底面是棱长为2的菱形，对角线与交于点为锐角，且四棱锥的体积为2. （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）先利用体积分割及等体积法求得四棱柱的高为，过点作平面的垂线，垂足为，利用三角形全等证明点与重合，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值.【小问1详解】设四棱柱的高为，因为四边形是平行四边形，所以，所以，所以，所以，且，所以，即四棱柱的高为.因为为正三角形，所以，因为，所以，于是，过点作平面的垂线，垂足为，所以，所以，从而，故，所以点在对角线上.因为，所