河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第二次教学质量检测数学试卷（解析版）

2023-2024学年普通高中高三第二次教学质量检测数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置.2选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4保持卡面清洁，不折叠，不破损.第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求解集合，再求集合的交集即可.【详解】因为，所以，又集合，所以，故选：B.2. 若z，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数除法运算法则，求出，即可求解.【详解】，在复平面内对应的点在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的代数运算及几何意义，属于基础题.3. 设公差不为零的等差数列的前n项和为，则（ ）A. 15B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为利用基本量代换求出，进而求解.【详解】设等差数列的公差为.，解得：，故选：D4. 已知向量的夹角为且|，则在上投影向量的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.【详解】依题意，在上投影向量为，其中，所以在上投影向量的坐标为.故选：C5. “”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】解：当时，所以 ，当时，所以 ，即所以“”是“”的充分不必要条件故选：A【点睛】此题考查充分条件，必要条件的应用，属于基础题6. 过直线上的一点作圆的两条切线，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）A. 4B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可得到切线的长.【详解】如图所示，圆心为，连接， 因为直线，关于对称，所以垂直于直线，故，而，所以.故选：C7. 已知抛物线的焦点为F，点P是C上一点，且，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则（ ）A 2B. 2或4C. 4D. 4或6【答案】D【解析】【分析】根据几何关系，求点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】设圆的圆心为，与轴交于点，线段的中点为，轴，由条件可知，所以，由焦半径公式可知，即，所以代入抛物线方程，解得：或.故选：D8. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用全概率公式以及条件概率公式即可得到答案.【详解】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，由题意可知：，则，若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知函数的图象如图所示，是直线与曲线的两个交点，且，则下列选项正确的是（ ）A. 的值为3B. 的值为2C. 的值可以为D. 的值可以为【答案】AD【解析】【分析】根据函数图像直接确定A，设结合，确定，利用点的坐标确定的表达式，然后代入求值即得答案.【详解】由函数的图象可知,设，由可得，令，即，结合图像可得，则，即，故A正确，B错误；将代入，即有，且为函数下降零点，所以，故，当时，不符合题意，当时，符合题意，故C错误，D正确；故选：AD.10. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位:）的记录数据（记录数据都是正整数）:甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有（）A. 一个都没有B. 甲地C. 乙地D. 丙地【答案】BD【解析】【分析】根据统计数据的中位数、众数、平均数和方差的数字特征，逐个判定，即可求解.【详解】甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出，家底连续5天的日平均温度的记录数据可能为，其连续5天的日平均温度均不低于22，可确定甲地进行夏季；乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24，当5数据为，可知其连续5天的日温度有低于22，所以不确定；丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，若有低于22，假设取21，此时方程就超出了，可知其连续5天的日温度均不低于22，如：，这组数据的均值为26，方差为，但是进一步扩大方差就会超过，所以可判定丙地进入夏季.故选：BD.11. 定义在上的函数满足，是偶函数，则（ ）A. 是奇函数B. C. 的图象关于直线对称D. 【答案】ABD【解析】【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项，是偶函数，函数关于直线对称，是奇函数，则正确；对于选项，,的周期为，则正确；对于选项，若的图象关于直线对称，则，但是，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；对于选项，将代入，得，将，代入，得，同理可知， 又的周期为，正奇数项的周期为，则正确.故选：ABD.12. 如图，双曲线的左右顶点为，为右支上一点（不包含顶点），直线与的渐近线交于、，为线段的中点，则（ ）A. 双曲线的离心率为B. 到两条渐近线的距离之积为C. D. 若直线与的斜率分别为，则【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据等轴双曲线的离心率即可判断；对B，结合渐近线与点到直线的距离即可；对C，由，结合即可；对D结合点差法即可.【详解】对A，等轴双曲线的离心率为，所以A正确，对B：双曲线的渐近线为，设，到两条渐近线的距离为，则，所以B错.对C：， ，所以，C正确.对D：方法1：设与双曲线及其渐近线依次交于，设设，则，由得中点的横坐标为由得中点的横坐标为，所以和的中点重合，即为双曲线弦的中点，由点差法得，设直线的斜率为，斜率为则，所以D正确.方法2：设， 由，所以D正确.故选：ACD第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上13. 若的展开式中的系数为15，则_【答案】3【解析】【分析】根据二项式展开式通项公式即可求得.【详解】的展开式中的项为，则，故.故答案为：14. 已知直线的倾斜角为，则的值是_【答案】【解析】【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，得，再利用正切的二倍角公式即可得到结果.【详解】由直线方程，得直线斜率，所以.故答案为：15. 已知函数，若方程恰有两个不同的实数根m，n，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】画出分段函数的图象，构造新函数，利用函数的导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】作出函数的图象，如图所示，由可得，所以，即，不妨设，则，令，则，所以，令，则，所以当时，；当时，当时，取得最大值.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数的图象，以及利用导数求解函数的单调性和最值及应用，着重考查数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题.16. 已知数列的通项公式为，数列为公比小于1的等比数列，且满足，设，在数列中，若，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【详解】在等比数列中，由，又，且公比小于，因此，由，得到是取中最大值，是数列中的最小项，又单调递减，单调递增，当时，即是数列中的最小项，则必须满足，即得，当时，即，是数列中的最小项，则必须满足，即得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知且.（1）若，求；（2）若BC边上的高是AH，求BH的最大值.【答案】（1） （2）.【解析】【分析】（1）根据二倍角的余弦公式化简，再由余弦定理可得，再由正弦定理求即可；（2）由三角恒等变换化简后，利用正弦型函数的性质求最大值即可得解.【小问1详解】由可得：，即：.即，又，由正弦定理得：.【小问2详解】由题意，时，取得最大值.18. 已知函数的图象经过，周期为.（1）求的解析式；（2）在中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，的角平分线交AB于D.若恰为的最大值，且此时，求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由周期可求出，再将坐标代入函数中可求出，从而可求出的解析式；（2）恰为的最大值，且此时，可得，再由题意得，化简可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.【小问1详解】周期为，图象经过，又，【小问2详解】的最大值，得，即，当且仅当，即时取等号，又，即当且仅当，时取等号，所以的最小值为.19. 设数列的前n项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列前n项和为，求的表达式【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据通项与前n项和的关系可得，再根据求解即可；（2）先化简，再根据求解即可.小问1详解】当时，所以当时，两式相减得：，即故.故.【小问2详解】因，令，则，bn为等差数列20. 某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布，数学成绩的频数分布直方图如下：（I）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪