2017-2018学年高中数学第三章不等式测评北师大版必修5

第三章不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知a>b,则下列不等式a2>b2,不成立的个数是() A.0B.1C.2D.3解析:取a=2,b=-4,可知均不成立.答案:D2.不等式(x+3)2<1的解集是()A.x|x>-2B.x|x<-4C.x|-4<x<-2D.x|-4x-2解析:原不等式可化为x2+6x+8<0,解得-4<x<-2.答案:C3.若变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为()A.4B.3C.2D.1解析:画出约束条件表示的可行域如图阴影部分,当目标函数z=x-2y经过x+y=0与x-y-2=0的交点A(1,-1)时,取到最大值3.故选B.答案:B4.已知关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集是,则ab等于()A.24B.6C.14D.-14解析:由已知得所以a=12,b=2.所以ab=24.答案:A5.设a>0,若关于x的不等式x+4在x(0,+)恒成立,则a的最小值为()A.4B.2C.16D.1解析:因为x>0,a>0,所以x+2.因此要使不等式恒成立,应有24,所以a4,即a的最小值为4.答案:A6.不等式>0的解集为()A.x|x<-2或x>3B.x|x<-2或1<x<3C.x|-2<x<1或x>3D.x|-2<x<1或1<x<3解析:不等式可化为(x+2)(x-3)(x-1)>0,由穿针引线法(如图)可得-2<x<1或x>3.答案:C7.已知当x(1,2)时,不等式x2+mx+4>0有解,则m的取值范围为()A.m>-4B.m<-4C.m>-5D.m<-5解析:记f(x)=x2+mx+4,则由二次函数的图像知,当f(1)>0或f(2)>0时,不等式x2+mx+4>0在(1,2)上一定有解,即m+5>0或2m+8>0,解得m>-5.故选C.答案:C8.(2017浙江高考)若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是()A.0,6B.0,4C.6,+)D.4,+)解析:画出约束条件所表示的平面区域为图中阴影部分,由目标函数z=x+2y得直线l:y=-x+z,当l经过点B(2,1)时,z取最小值,zmin=2+2×1=4.又z无最大值,所以z的取值范围是4,+),故选D.答案:D9.已知a2+c2-3=0,则c+2a的最大值是()A.2B.2C.2D.3解析:解法一:由a2+-3=0,得4a2+c2=12,所以(2a+c)2=4a2+c2+2×2ac4a2+c2+4a2+c2=24,当且仅当2a=c=时取等号,则c+2a的最大值是2.解法二:由a2+c2-3=0,可得a2+c2=1,令a=cos ,c=2sin ,R,可得c+2a=2sin +2cos =2sin2.答案:B10.若变量x,y满足且2x-y的最大值为-1,则a的值为()A.0B.1C.-1D.2解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,令z=2x-y,则y=2x-z.因为2x-y的最大值为-1,所以2x-y=-1与阴影部分的交点为阴影区域的一个顶点,由图像可知,当直线2x-y=-1经过点C时,z取得最大值,由解得故a=-1.答案:C11.已知在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A.15,20B.12,25C.10,30D.20,30解析:矩形的一边长为x m,则其邻边长为(40-x)m,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由S300得-x2+40x300,即10x30.答案:C12.已知点P(x,y)的坐标满足条件的最大值为a,x2+(y+)2的最小值为b,则a+b=()A.4B.5C.7+4D.8+4解析:线性约束条件表示的可行域为直线x=1,y=2,2x+y-2=0围成的三角形及其内部,可看作点(x,y),(-2,0)连线的斜率,观察图形可知最大值a=1,x2+(y+)2可看作两点(x,y),(0,-)间距离的平方,观察图形可知最小值b=4,所以a+b=5.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知m,n为实数,若关于x的不等式x2+mx+n<0的解集为(-1,3),则m+n的值为. 解析:由题意得,-1,3为方程x2+mx+n=0的两根,因此-1+3=-m,-1×3=nm=-2,n=-3,则m+n=-5.答案:-514.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是. 解析:一年的总运费与总存储费用之和为4x+×6=44×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.答案:3015.若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围是. 解析:依题意得-10恒成立,即x2+2ax-a0恒成立,因此=4a2+4a0,解得-1a0.答案:-1,016.若变量x,y满足则z=log2(x-y+5)的最大值为. 解析:根据约束条件作出可行域如图.由z=log2(x-y+5),得2z=x-y+5,即y=x+5-2z,作直线l0:x-y=0,当直线l0过原点(0,0)时,2z最大,即2z=5,此时z最大,所以当x=y=0时,zmax=log25.答案:log25三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设(x)=(x>0).(1)求(x)的最大值.(2)证明:对任意实数a,b,恒有(a)<b2-3b+.(1)解f(x)=2,当且仅当即x=2时,等号成立.所以(x)的最大值为2.(2)证明b2-3b+3,当b=时,b2-3b+有最小值3,由(1)得,(a)有最大值2.又因为2<3,所以对任意实数a,b都有(a)<b2-3b+.18.(本小题满分12分)已知实数x,y满足约束条件设不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,求实数a的取值范围.解作出约束条件所对应的可行域D(如图阴影部分),直线y=a(x+1)表示过点A(-1,0),且斜率为a的直线,联立解得即B(3,3),由斜率公式可得kAB=,结合图像可得,要使直线y=a(x+1)与区域D有公共点,需使a.所以a的取值范围为.19.导学号33194080(本小题满分12分)一批救灾物资随26辆汽车以x km/h的速度匀速开往400 km处的地震灾区,为安全起见,每辆汽车的前后间距不得小于 km,问这批物资全部到达灾区,最少要用多少小时?解设这批物资全部到达灾区需用y h,由题意可知,y相当于最后一辆车行驶 km所用的时间,所以y=2×=10,当且仅当,即x=80时,等号成立.所以这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为10 h.20.导学号33194081(本小题满分12分)已知不等式mx2+nx-<0的解集为.(1)求m,n的值;(2)解关于x的不等式(2a-1-x)(x+m)>0,其中a是实数.解(1)依题意得解得m=-1,n=.(2)原不等式为(2a-1-x)(x-1)>0,即x-(2a-1)(x-1)<0.当2a-1<1,即a<1时,2a-1<x<1;当2a-1=1,即a=1时,不等式的解不存在;当2a-1>1,即a>1时,1<x<2a-1.综上,当a<1时,原不等式的解集为x|2a-1<x<1;当a=1时,原不等式的解集为;当a>1时,原不等式的解集为x|1<x<2a-1.21.(本小题满分12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元.要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?解设投资人用x万元投资甲项目,用y万元投资乙项目,盈利为z万元.由题意知目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图,阴影部分(含边界)即为可行域.作直线l0:x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z,zR,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的点M,且与直线x+0.5y=0的距离最大,点M是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组得此时zmax=4+0.5×6=7.故当x=4,y=6时,z取得最大值.答:投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.22.导学号33194082(本小题满分12分)某厂家拟在新年举行大型的促销活动,经测算,当某产品促销费用为x万元时,销售量t万件满足t=5-(其中0xa2-3a+3,且a>0).现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为万元/万件.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.解(1)由题意知,y=×t-(10+2t)-x,又t=5-,代入化简得y=20-(0xa2-3a+3,且a>0).(2)当1a2-3a+3,即a2或0<a1时,y=21-21-2=17,当且仅当=x+1,即x=1时,等号成立.促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;当a2-3a+3<1,即1<a<2时,y'=>0,所以y=21-在0,a2-3a+3上是增加的,所以,当x=a2-3a+3时,函数取得最大值.所以促销费用投入(a2-3a+3)万元时,厂家的利润最大.综上所述,当a2或0<a1时,此时促销费用投入1万元,厂家的利润最大;当1<a<2时,此时促销费用投入(a2-3a+3)万元,厂家的利润最大.