同角三角函数的基本关系式知识讲解

同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：(2)商数关系：(3)倒数关系：，要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)是的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1平方关系式的变形：，2商数关系式的变形。【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1已知tan=2，求sin，cos的值。【思路点拨】先利用,求出sin=2cos，然后结合sin2+cos2=1，求出sin，cos。【解析】 解法一：tan=2，sin=2cos。 又sin2+cos2=1， 由消去sin得(2cos)2+cos2=1，即。当为第二象限角时，代入得。当为第四象限角时，代入得。解法二：tan=20，为第二或第四象限角。又由，平方得。，即。当为第二象限角时，。当为第四象限角时，。【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。举一反三：【变式1】已知是的一个内角，且，求【思路点拨】根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解.【解析】为钝角，由平方整理得例2已知cos=m（1m1），求sin的值。【解析】（1）当m=0时，角的终边在y轴上，当角的终边在y轴的正半轴上时，sin=1；当角的终边在y轴的负半轴上时，sin=1。（2）当m=±1时，角的终边在x轴上，此时，sin=0。（3）当|m|1且m0时，sin2=1cos2=1m2，当角为第一象限角或第二象限角时，当角为第三象限角或第四象限角时，。【总结升华】 当角的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。类型二：利用同角关系求值例3已知：求：（1）的值；（2）的值；（3）的值；（4）及的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】（1）（2）（3）0（4）或【解析】（1）由已知 （2）（3）（4）由，解得或【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。举一反三：【变式1】已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin3+cos3。【解析】 因为，所以，所以。（1） （2）。【总结升华】 对于已知sin±cos=m型的问题，常有两种解法：一是两边平方，得±2sincos=m21，联立以上两个式子解出sin，cos的值，从而使问题得以解决；二是对所求式子进行变形，化为sin±cos，sin·cos的形式代入求解，解题时注意正、负号的讨论与确定。例4已知tan=3，求下列各式的值。（1）；（2）；（3）。【思路点拨】由已知可以求出，进而代入得解，但过程繁琐。在关于“齐次”式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan的式子，然后利用已知求解.【解析】（1）原式的分子分母同除以cos（cos0）得，原式。（2）原式的分子分母同除以cos2（cos20）得，原式。（3）用“1”来代换，原式。【总结升华】 已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题如（1）、（2）题，cos0，所以可用cosn（nN*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；在（3）题中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。举一反三：【变式1】（1）已知tan=3，求sin23sincos+1的值；（2）已知，求的值。【解析】（1）tan=3，1=sin2+cos2，原式 。（2）由，得，解得：。类型三：利用同角关系化简三角函数式例5化简：。【解析】 解法一：原式 。解法二：原式 。解法三：原式 。【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2+cos2=1，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin2+cos2=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“1=sin2+cos2”，1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。举一反三：【变式1】化简（1）； （2）；（3）； （4）【答案】（1）1（2）（3）略（4）略【解析】（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式= = =，类型四：利用同角关系证明三角恒等式例6求证：。【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。【解析】 证法一：右边 =左边。证法二：左边，右边，所以左边=右边，原等式成立。证法三：左边，右边，所以左边=右边，原等式成立。【总结升华】 本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”。化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等。举一反三：【变式1】求证：.【解析】证法一：由题意知，所以.左边=右边.原式成立.证法二：由题意知，所以.又，.证法三：由题意知，所以.，.【变式2】已知，求证：。【证明】 ，。