湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考 数学 Word版含解析

【新结构】湖北省2024年春季鄂东南高二期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)在x=x0处的导数为6，则limx0f(x0)f(x0+x)3x=(    )A. 2B. 2C. 6D. 62.在等差数列an中，Sn是数列an的前n项和，a4+a13=6+a5，则S23=(    )A. 118B. 128C. 138D. 1483.函数f(x)=cosx+xsinx在0,上的最大值为(    )A. 0B. 4C. 2D. 4.已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=1x+xln(x)，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是(    )A. 2xy+1=0B. y=1C. 2xy1=0D. y=15.式子C2n92n+C10n2n的值为(    )A. 27B. 127C. 5160D. 与n的取值有关6.2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流.某班级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约.这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪纪念塔三个景点中游玩.已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至少一位同学会选，则不同的选法总数为(    )A. 240B. 360C. 420D. 5407.已知Sn为数列an的前n项和，数列an满足：a1=1，(n1)annan1=1(n2)，记不超过x的最大整数为x，则i=120241Sn的值为(    )A. 4B. 3C. 2D. 18.对任意的x1e,+)，不等式2ae2axex(2lnx+1)0恒成立，则正实数a的最小值为(    )A. eB. 1C. 2 eD. 1 e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有(    )A. 没有空盒子的方法共有6种B. 所有的放法共有21种C. 恰有1个盒子不放球的方法共有9种D. 没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种10.已知数列an满足a1=3，3an+1=2an+2，则(    )A. a3=229B. 数列log32(an2)是等差数列C. a2n的前n项和为651(49)n+2nD. 数列an+1+(32)n的最小项为411.已知函数f(x)和g(x)的定义域为R，g(x)为偶函数，g(x)=g(4x)，f(x)=1g(x)，下列说法正确的是(    )A. 函数g(x)关于(2,0)对称B. g(2022)=0C. f(x)关于点(2,0)对称D. k=12024f(k)=2024三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)=2f(4)cosxsinx，则f(4)=_.13.已知函数f(x)=e3xtx(tR)在(0,+)内单调递增，则t的最小值为_.14.计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制.若将一个十进制数n(nN)表示为n=a0×2k+a1×2k1+a2×2k2+ak×20，其中a0=1，ai0,1(i=1,2,3,k)则其二进制为(a0a1a2ak)2(kN)，例如：自然数1在二进制中就表示为(1)2，2表示为(10)2，3表示为(11)2，4表示为(100)2，7表示为(111)2.记f(n)为a0，a1，a2，ak中0的个数，如f(2)=1，f(4)=2，f(7)=0，则f(127)=_;从1到127这些自然数的二进制表示中f(n)=2的自然数有_个.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知(x2+ax)n的展开式中所有项的二项式系数之和为128，各项系数之和为1.(1)求正整数数n和实数a的值;(2)求(x2+ax)n的展开式中x2项的系数.16.(本小题15分)已知数列an是单调递增的等差数列，数列bn为等比数列，且a1=b1=1，b2+1是a1和a4的等差中项，b2是a1和a5的等比中项.(1)求数列an，bn的通项公式;(2)若Sn为数列anbn的前n项和，求证：1Sn<3.17.(本小题15分)已知函数f(x)=aexx+2a2(e为自然常数，e2.71828).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna+2.18.(本小题17分)已知函数f(x)=x3+ax2a2x(a>0).(1)当a=1时，以点T(1,f(1)为切点作曲线f(x)的切线，求切线方程;(2)证明：函数f(x)有3个零点;(3)若f(x)在区间(a5,3a)上有最小值，求a的取值范围.19.(本小题17分)如果一个正项数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都大于同一个常数q，那么这个数列就叫做类等比数列，这个常数q叫做类等比数列的类比.(1)若数列an是一个类等比数列，且a1=1，q=13，证明an>13n;(2)对于一个正项数列an，且首项a1=1，满足anean+1=ean1;证明：数列an为递减数列;证明：an>12n.答案和解析1.【答案】A 【解析】【分析】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于基础题根据题意，由极限的性质可得limx0f(x0)f(x0+x)3x=13×limx0f(x0+x)f(x0)x，结合导数的定义计算可得答案【解答】解：根据题意，函数f(x)在x=x0处的导数为6，则limx0f(x0)f(x0+x)3x=13×limx0f(x0+x)f(x0)x=13×6=2.故选A.2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质以及求和公式，是基础题.利用等差数列的性质以及求和公式计算即得.【解答】解：由a4+a13=6+a5，又a4+a13=a5+a12，所以a12=6由题意得S23=23(a1+a23)2=23a12=23×6=138 .故选C.3.【答案】C 【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的最值，属于基础题.先求导，利用导数得出单调性，可得函数的最值.【解答】解：f(x)=xcosx，当x0,2时，f(x)>0，f(x)在0,2单调递增，当x2,时，f(x)<0，f(x)在2,单调递减，f(x)max=f(2)=2.故选C.4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查奇函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于中档题因为f(x)为奇函数可求得x>0时的解析式，由f1=0，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程.【解答】解：因为f(x)为奇函数，所以f(x)=f(x)，当x<0时，f(x)=1x+xln(x)，设x>0，则f(x)=1xxlnx，所以x>0，f(x)=f(x)=1x+xlnx，所以x>0，f(x)=1x2+lnx+1所以f1=1+1=0，又f(1)=1，则切线为y=1，故选B.5.【答案】A 【解析】【分析】本题考查组合与组合数公式，属于基础题.根据组合数性质求出n的取值范围，进而得到n，再根据组合数公式求解即可.【解答】解：由092n2n02n10n，94n920n103，94n103，又nN，n=3，原式=C63+C76=27.故选A6.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了排列与组合的综合应用，是中档题.分三个景点选择的人数之比为1:2:3、1:1:4和2:2:2三种情况，利用排列与组合的综合应用可得结果.【解答】解：若三个景点选择的人数之比为1:2:3，则有C61C52A33=360种选法；若三个景点选择的人数之比为1:1:4，则有C61C51A22A33=90种选法；若三个景点选择的人数之比为2:2:2，则有C62C42A33A33=90种选法，故共有360+90+90=540种不同的选法.7.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了根据数列的递推公式求通项公式以及裂项相消法求和，是中档题.先由递推关系得an+1n为常数列，可得an=2n1，Sn=n2，由放缩法和裂项相消可得i=120241Sn的取值范围，可得结果.【解答】解：当n2时，(n1)annan1=1，annan1n1=1(n1)n=1n11n，an+1n=an1+1n1，则an+1n为常数列，an+1n=a1+11=2，an=2n1，Sn=n(1+2n1)2=n2，又n2时，1Sn=1n2<1n11n，i=120241Sn<1+(112)+(1213)+(1202312024)=212024<2，又易得i=120241Sn>1，i=120241Sn=1，故选D.8.【答案】D 【解析】【分析】本题考查不等式的恒成立问题，利用导数研究闭区间上函数的最值，考查运算化简的能力和化归与转化思想，属于较难题.由题意得2axe2axex2lnex2，令f(x)=xex，研究其单调性，进而问题转化为a1+2lnx2x恒成立问题，通过求导可得结论.【解答】解：2ae2axex(2lnx+1)0恒成立，2axe2axex2lnex20恒成立，2axe2axex2lnex2恒成立，令f(x)=xex，f(x)=(x+1)ex，当x(1,+)时，f(x)>0，f(x)单调递增.由2axe2ax1x2lnex20，即f(2ax)f(lnex2)，f(x)在(1,+)为增函数，且lnex21，2axlnex2=(2lnx+1)恒成立，a1+2lnx2x恒成立，令g(x)=1+2lnx2x，gx=24lnx4x2=12lnx2x2，当x1e, e时,gx>0,x e,+时,gx<0,g(x)在1e, e)单调递增，( e,+)单调递减，g(x)max=g( e)=1 e，所以a1 e.故选D.9.【答案】AD 【解析】【分析】本题考查排列组合与计数原理的综合应用，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题A选项，3个球全放3个盒中，没有空盒则全排列即可求得；B选项，有3个球，每个球有3种放法，此时随意放，盒子可以空也可以全用完；C选项，恰有一个空盒，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球；D选项，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子故只有1号盒子放2号球，2号盒子放3号球，3号盒子放1号球，或1号盒子放3号球，2号盒子放1号球，3号盒子放2号球