椭圆的基本性质

课题：12.4椭圆的基本性质（二课时）教学目标：1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质.2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等.4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题教学过程：一课前准备：1、 知识回忆（1） 椭圆和圆的概念（2） 椭圆的标准方程2、课前练习1) 圆的定义：到一定点的距离等于_的图形的轨迹。椭圆的定义：_的图形的轨迹。2) 椭圆的标准方程：1。焦点在轴上_（）2。焦点在轴上_（）若，则椭圆的长轴长_短半轴长_，焦点为_，顶点坐标为_，焦距为_二教学过程设计一、引入课题“曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论.二、讲授新课（一） 对称性问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？代后方程不变，说明椭圆关于轴对称；代后方程不变，说明椭圆曲线关于轴对称；、代，后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？以把x换成x为例，如图在曲线的方程中，把x换成x方程不变，相当于点P（x，y）在曲线上，点P点关于y轴的对称点Q（x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称其它同理.相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.（二） 顶点问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？在椭圆的标准方程中，令，得，得 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.顶点坐标；，.相关概念：线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.在椭圆的定义中，表示焦距，这样，椭圆方程中的就有了明显的几何意义.问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令能使方程简单整齐，其几何意义是什么？表示半焦距，表示短半轴长，因此，联结顶点和焦点，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，即.（三） 范围问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围变形为：这就得到了椭圆在标准方程下的范围：同理，我们也可以得到的范围：问题2：思考是否还有其他方法？方法一：可以把看成，利用三角函数的有界性来考虑的范围；方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，同理可以得到的范围由椭圆方程中的范围得到椭圆位于直线和所围成的矩形里.三、例题解析例1 已知椭圆的方程为.（1） 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标;（2） 写出与椭圆有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程.解：解答见书本P48说明 这是本节课重点安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应用.例2（1）求以原点为中心，一个焦点为且长轴长是短轴长的倍的椭圆方程;（2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程.解：（1）由题意可知：，由，有，;椭圆的标准方程为：.（2）或.说明 此题利用椭圆标准方程中的关系来解题，要注意焦点在轴上或轴上的椭圆标准方程.例3已知直线与椭圆，当在何范围取值时，（1） 直线与椭圆有两个公共点；（2） 直线与椭圆有一个公共点；（3） 直线与椭圆无公共点.解：由可得 ；（1）当时，直线与椭圆有两个公共点；（2）当时，直线与椭圆有一个公共点；（3）当时，直线与椭圆无公共点.说明 由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交（2）直线与椭圆相切（3）直线与椭圆相离，所以判定直线与椭圆的位置关系，运用方程及其判别式是最基本的方法.例4若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围.解法一：由可得，即.解法二：直线恒过一定点当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即综述：解法三：直线恒过一定点要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即说明法一转化为的恒成立问题；法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点在椭圆内部或在椭圆上则.例5 椭圆中心在原点，长轴长为10，一个焦点的坐标，求经过此椭圆内的一点，且被点平分的弦所在的直线方程.解：由已知，且焦点在轴上，椭圆方程为.设过点的直线交椭圆于点、.是弦的中点，则，将两点的坐标代入椭圆方程，两式相减整理得：，即.所求的直线方程为，即.说明此题因为涉及椭圆的弦中点问题，除通法外，可以优先考虑“点差法”.但需注意两点：1）斜率是否存在？2）应检验直线和椭圆是否相交？即联立直线和椭圆方程，得到关于x或y的一元二次方程，检验其根的判别式是否大于0？例6求椭圆中斜率为1的平行弦的中点的轨迹.解：见书本P50说明 此题因为涉及椭圆的弦中点问题，本题也可使用“点差法”.例7 已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求ABF2的面积解法一：由题可知：直线方程为由,可得，,解法二：到直线AB的距离,由可得，又,.说明 在利用弦长公式（k为直线斜率）应结合韦达定理解决问题.例8 已知直线交椭圆于两点，求椭圆方程.解：为简便运算，设椭圆为，整理得： （1），设、， ，即，有.方程（1）变形为：.，有，得：，椭圆的方程为或.说明 应注意两点设而不求，善于使用韦达定理.四、巩固练习练习12.4（1）;练习12.4（2）五、课堂小结1椭圆的几何性质标准方程（ab0）（ab0）图形F1F2MyxOyxOF2F1M性质范围axa，bybbxb，aya对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点（a，0）、（a，0）、（0，b）、（0，b）（0，a）、（0，a）、（b，0）、（b，0）焦点F1（c，0）、F2（c，0）F1（0，c）、F2（0，c）两轴长轴长2a，短轴长2b焦距|F1F2|2c，c2a2b22直线与椭圆位置关系如何判断3弦长问题和弦中点问题4有关弦中点问题，“点差法”的应用六、课后作业练习册、补充作业：1椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，求 值. 2.椭圆两点，若的面积为20，求直线方程.3.已知椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，求椭圆的方程.4中心在原点，焦点坐标为(0, ±5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆方程.5.已知椭圆.（1） 过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（2） 求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.6为直线上的点，过且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，问在何处时所作椭圆的长轴最短？并求出相应椭圆的方程.7已知椭圆C：，经过其右焦点F且以为方向向量的直线交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆C于N点（1）证明：（2）求的值8已知A（2，0）、B（2，0），点C、点D满足 （1）求点D的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.9.设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足记动点P的轨迹为C（1） 求轨迹C的方程；（2）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围10.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上有两点P、Q，使PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数，使 （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注！）