广东省南海区南海中学高三数学文科8月摸底考试卷
南海中学上学期高三摸底试题（文科数学）试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共50分）注意事项：1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3 考试结束，监考老师将本试题和答题卡一并收回。一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。）1. 若集合 M =y | y =, P 二y| y 二、d,那么 M P -xA. （0,B. 0, ：）C. （1, ：）D 1,:）【解析】m =y| y = =y |y 0, N =y |y _0,故 M riP=（0, ：）,选（A）；x2. 对于平面g和共面的直线 m、n,下列命题中真命题是A.若 m _ ,m _ n，则 n / ：B.若 m/，n/,则 m/ nC.若m二X,n/,则m/ nD.若m、n与所成的角相等，贝U m/ n【解析】对于平面 a和共面的直线 m、n ,真命题是“若 muct, n/a,则m/ n”选c.3(1-i)(1+2i)1 iA.-2 - iB. - 2 iC.2 -iD. 2 i【解析】(1 一i)(1 出-i(1 2i) =2-i,故选(C).(注:1 - i熟练掌握1 i二1 i-i , 口 =i 等!)1十i1 + i1 -i14.不等式x0成立的充分不必要条件是xA. T ： x ： 0 或 x 1B. x ： -1 或 0 ： x ： 1C. x -1D. x 1【解析】原不等式二 -1 ： x ： 0或x 1 （*）,显然x 1= （*）,但（*）=x - 1，故选(D).5.设f （x）是函数f（x）的导函数，y = f （x）的图象如图所示，贝U y= f（x）的图象最有可能的是【解析】由y二f (x)的图象易得当x：0或x 2时，f(x) . 0,故函数y二f(x)在区间(-二，0)和(2,二)上单调递增;当0：x：2时,f (x) :：: 0,故函数y二f(x)在区间(0,2)上单调递减;选C.心曰 定是D .正方形=0知其为平行四边形，(AB_AD AC=0即DB A 0知6.若平面四边形 ABCD满足AB CD =0, (A - AD) "AC二0,则该四边形A.直角梯形B .矩形C .菱形【解析】四边形 ABCD满足AB =0该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形故选(C).(0,1),则该函数的一条对称轴方程为7.已知函数y=2sin(2x + ®)(半 <-)的图象经过点2A. x =-12【解析】依题意2sin'1=sin二1,又2JTB . x =6Ji平-.:,故 ，令2x k 解得2 6 6 212(k Z),2 6令k =0可得答案(C).8.等差数列an中，已知前15项的和§5 =90，则a8等于45A .2B. 1245C .4【解析】7弘=也1飞15)15二2a8 15二90,. 36,故选(D).29.圆(x 1)2 (y 2)2 = 8上与直线x y T = 0的距离等于2的点共有A. 1个C. 3个，所以圆上与直【解析】因为圆心坐标(-1,-2),半径为2、2,所以圆心到直线的距离等于半径的一半线x y 0的距离等于 .2 的点共有3个，故选(C).10.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文t密文(加密),接收方由密文t明文(解密),已知加密规则为：明文a,b, c, d对应密文a 2b,2b c, 2 3d, 4d,例如，明文1,2,3, 4对应密文5,7,18,16 .当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为A. 4,6,1,7B. 7,6,1,4C. 6,4,1,7D. 1,6,4,7a+2b = 14a = 62b + c = 9b = 4【解析】本题考查阅读获取信息能力，实则为解方程组 <，解得 ，即解密得到2c + 3d=23 jc = 1.4d = 28d = 7的明文为6,4,1,7，故选择答案C.第II卷（非选择题共100 分）、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）11.如果双曲线的两个焦点分别为耳（-3,0）, F2（3,0），条渐近线方程为y = 2x，则该双曲线的方程为2【解析】设双曲线的方程为 x.2ab22xy36从而该双曲线的方程为=1.2a2 b2 = 9-1(a 0,b 0),依题意可得b，解得2aa2 =3 b2 =6 '212.若二ABC 的内角 A 满足 sin 2A,则 sin A cosA =3【解析】由sin2A=2sinAcosA.O,可知A是锐角，所以sin A cosA 0，又（nAcs ) A2=1 si n2A=5,所以 si nA cosA 二33111113. 右图给出的是计算11丄丄24620程序框图，其中判断框内应填入的条件是【解析】10（或填i =11）14. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为 4x万元， 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则X二吨.【解析】某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨,则需要购买 坐0次,运费为4万元/次, 一年的总存储费x的值的一个题13图用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为4004004 4x 万兀，4 4x > 160,当xx16004x即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小x三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x 3si n(2x-E2si n2(x-&p(x R)（I ）求函数f （x）的最小正周期；（II）求函数f （x）取得最大值的所有 x组成的集合【解析】(I) f(x) = .3si n( 2x_二)-cos2(x _ 二)6 12=3 s i n (x2) c x s(-26 6兀sgx 一訐1cos(2x_g) 1 2 6nnJi= 2si nx2 -) + >21si n x 巧-1 5 分6632 jr(I )函数f(x)的最小正周期为 T 7分2TEJI3T(n )当f (x)取最大值时，sin(2x)=1，此时有2x 2k 10分3325 二5 :即 x = k(k ：= Z) 所求 x 的集合为x|x = k,k：=Z 12 分12123216.(本小题满分14分)设函数f(x)=x 3ax +3bx的图像与直线12x+y-1= 0相切于点(1, 一11).()求a,b的值;(n)讨论函数f (x)的单调性。【解析】(I)求导得f (x) =3x2 -6ax 3b , 2分C f (1) _11 由于f (x)的图像与直线12xy-1=0相切于点(1,-11),所以 '一 4分f(1)=-12刨 1-3a 3b = -11 即，解得a=1,b- -3 7分3-6a 3b 二-12(n)由 a =1,b - -3得：f (x) =3x2 -6ax 3b = 3(x2 -2x -3) = 3(x 1)(x-3)令 f (x) 0，解得 x ： -1 或 x 3 ；由 f (x) :：: 0 ,解得 一1 ： x ： 3.故函数f (x)在区间(一-1),(3, ：)上单调递增，在区间(-1,3)上单调递减.17.(本小题满分14分)如图，长方体 ABCD中，E是BC的中点，M,N分别是AE,CD1 的中点，AD=AA =a,AB=2a,(I)求证：MN / 平面 ADD1A1 ；(n)求异面直线 AE和CD1所成角的余弦值；【解析】(I)证明：取CD的中点K ,连结MK , NK - M , N,K分别为AK,CD1,CD的中点二 MK /AD,NK /DD13分 MK / 面 ADDiA , NK/ 面 ADDiA面 MNK / 面 ADD1A1 5分又 MN g 面 MNK ,从而 MN / 面 ADD1A1 7分(n)解：取AU的中点F，连结AF,EF ,则D1F/CE ,从而四边形CEFD1为平行四边形， EF /CD1 9分 . AEF为异面直线AE和CDi所成的角(或其补角) 10分在AEF中,易得AF号,AE二于,E 5a11分13分由余弦定理得cos AEF = AE 更二852AE EF8514分异面直线AE和CD1所成角的余弦值为 858518.(本小题满分14分)已知向量a,b满足a=|b1,且|ka b|= 3|a-kb|(k 0),令 f(k)二ab,(I)求 f (k)二 a b (用 k 表示)；2I(n)当k 0时，f(k)_x -2tx-?对任意的t -1,1恒成立，求实数 x的取值范围。【解析】(I)由题设得J|b|2=1，对 |ka b|3|a-kb|两边平方得k2!2 2k：bb3(a2kab k2b2)展开整理易得f(k)二ab=k 1你.0)4k2k2 +1 k 11(n) f (k),当且仅当k = 1时取得等号4k 4 4k 22 1 _ 1 2 1欲使f(k)_x2tx对任意的t，-1,1恒成立，等价于x2tx2 2 22即g(t)=2xt-x '1-0在-1,1上恒成立，而g(t)在-1,1上为单调函数或常函数,11分g(1)=2x_x21 一0所以2g(-1) = -2x -x 1 _0解得 1- 2<x< ,2-113分故实数x的取值范围为1 -2,、. 2 -1 14分19.(本小题满分14分)已知等差数列an的公差d不为零，首项a1 =2且前n项和为Sn.(丨)当£ =36时，在数列an中找一项am(m N),使得直，ag,am成为等比数列，求m的值.(II)当a3= 6时，右自然数 ,r2ll,Hk,HI 满足 3 "：n1：n2：:nk并且 a1,83, a片，an2,川,anll I是等比数列，求nk
