2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷）（解析版）

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高线性回归方程中系数计算公式，其中，表示样本均值是正整数，则一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数满足，其中为虚数单位，则A B C D1（B）2已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为A0 B1 C2 D32（C）的元素个数等价于圆与直线的交点个数，显然有2个交点3若向量满足且，则A4 B3 C2 D03（D）依题意得，则4设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A是偶函数 B是奇函数C是偶函数 D是奇函数4（A）由是偶函数、是奇函数，得和都是偶函数，所以与都是偶函数，与的奇偶性不能确定5已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为A B C4 D35（C），即，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线经过点时，取得最大值，6甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A BC D6（D）乙获得冠军的概率为，则甲队获得冠军的概率为32正视图图13侧视图图2211211俯视图图37如图1 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A B C D7（B）该几何体是一个底面为平行四边形，高为3的四棱柱，易求得平行四边形的高为，则8设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集，且，有；，有，则下列结论恒成立的是A中至少有一个关于乘法是封闭的 B中至多有一个关于乘法是封闭的C中有且只有一个关于乘法是封闭的 D中每一个关于乘法都是封闭的8（A）若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、C若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9 13题）9不等式0的解集是 90 110的展开式中，的系数是 （用数字作答）1084的通项，由得，则11等差数列前9项的和等于前4项的和若，则 1110方法1：由得，求得，则，解得方法2：由得，即，即，即12函数在 处取得极小值122，令得或，显然当时；当时；当时，函数在处取得极小值13某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm13185设父亲的身高为cm，儿子的身高为cm，则根据上述数据可得到如下表格：173170176182170176182？上表中的最后一组是预测数据，线性回归方程，所以当时，即他孙子的预测身高为185 cm（二）选做题（14 15题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和 ，它们的交点坐标为_14表示椭圆，表示抛物线或（舍去），又因为，所以它们的交点坐标为图415（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于，且，是圆上一点使得，则_15由弦切角定理得，又，则，则，即三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数，（1）求的值；（2）设，求的值16解：（1）（2），即，即，17（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451691781661751807580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）17解：（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得所以乙厂生产的产品数量为35件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为（件）（3）可能的取值为0，1，2 的分布列为：012图518（本小题满分13分）如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，分别是的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值18（1）证明：取的中点，连接，在边长为1的菱形中，是等边三角形，平面分别是的中点，平面（2）解：由（1）知，是二面角的平面角易求得二面角的余弦值为19（本小题满分14分）设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切（1）求的圆心轨迹的方程；（2）已知点，且为上动点，求的最大值及此时点的坐标19解：（1）设，圆的半径为，则的圆心轨迹是以为焦点的双曲线，的圆心轨迹的方程为（2）的最大值为2，此时在的延长线上，如图所示，必在的右支上，且，直线的斜率， 的最大值为2，此时为20（本小题满分14分）设，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，20（1）解： 当时，则是以为首项，为公差的等差数列，即 当且时，当时，是以为首项，为公比的等比数列综上所述（2）方法一：证明： 当时，； 当且时，对于一切正整数，方法二：证明： 当时，； 当且时，要证，只需证，即证即证即证即证，原不等式成立对于一切正整数，21（本小题满分14分）在平面直角坐标系上，给定抛物线：实数满足，是方程的两根，记（1）过点作的切线交轴于点证明：对线段上的任一点，有；（2）设是定点，其中满足，过作的两条切线，切点分别为，与轴分别交于线段上异于两端点的点集记为证明：；（3）设，当点取遍时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）21解：（1）是抛物线上的点，则切线的斜率过点的抛物线的切线方程为：，即在线段上，不妨设方程的两根为，则， 当时， 当时，综上所述，对线段上的任一点，有（2）由（1）知抛物线在处的切线方程为，即切线恒过点，则， 当时， 当时，综合可得由（1）可知，若，点在线段上，有 由（1）可知，方程的两根或，或若，即则、 、 综合可得综上所述； （3）由，求得两个交点则，过点作抛物线的切线，设切点为，切线与轴的交点为由（2）知，解得， 若，则点在线段上由，得，由，得，令，则， 若，则点在线段的延长线上方程的两根为， 即或 ，同理可得综上所述，