最新最全平面向量的方法技巧及易错题复习剖析完整版

精编习题平面向量的方法技巧及易错题剖析1两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（ 1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定；（ 2）两个向量的数量积称为内积，写成a ·b ；今后要学到两个向量的外积a × b ，而 a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（ 3）在实数中，若a 0，且 a b=0，则 b=0；但是在数量积中，若a0，且 a b =0，不能推出b = 0 。因为其中cos 有可能为0；（ 4）已知实数a、b、c(b 0)，则 ab=bca=c。但是 a b = bcac；如右图：ab = |a|b|cos= | b |O A| ， bc = | b| c|cos=|b|OA|a b= bc ，但ac ；(5)在实数中，有( ab ) c= a( b c )，但是( a b ) ca( bc )，显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线。2平面向量数量积的运算律特别注意：（ 1）结合律不成立：ab ca bc；（ 2）消去律不成立a ba c 不能得到bc；（ 3） a b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 。3向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视 . 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；4注重数学思想方法的教学数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判a 22定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式a ，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a 在 b 方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点 P 的位置不同，可以大于零，也可以小于零。（一）平面向量常见方法技巧方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题特别对于化简题，应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相连，然后再运用向量加法结合律作和。例：化简下列各式：ABBCCA；ABACBDCD； OA OD AD； NQQPMNMP 。结果为零向量的序号为 _ 。方法二：强化运用向量加法法则例：已知四边形ABCD是菱形，点 P 在对角线 AC上（不包括端点A、C），则 AP 等于（）ABBC ,0， 2A.ABAD ,0, 1B.2ABBC ,0,2ABAD ,0, 12C.D.答案： A方法三：数形结合思想例：已知向量 OP1 、 OP2 、 OP3满足条件 OP1OP2OP3 0 ，且 | OP1 | |OP2 | | OP3| =1，试判断P1 P2 P3 的形状。方法四：取特例例： ABC 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， OHm OAOBOC ，则实数m =_。答案： 1方法五：应用| a |2a2 解题a2 | a |2 是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。例：已知 a、b 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么 | a 3b | 等于（）A.7B. 10C. 13D. 4方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题例 1：已知向量 a 、 b 满足 | a | 6， | b | 4 ，且 a 与 b 的夹角为 60，求 | ab | 和 | a 3b | 。方法七：三角形形状的判断方法由于三角形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或角表示后再化简、判断已知平面上有互异的四点A、 B、 C、 D，若 DBDC 2DA AB AC0 ，则 ABC的形状是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形（二）易错题剖析【易错题1 】若向量 a、 b 满足关系式 | a b | | ab | ，则下列结论中正确的是（）A. 以 a 、 b 为邻边的四边形是矩形B. a 、 b 中至少有一个零向量或 a bC. a 、 b 中至少有一个是零向量D. a 、 b 均为零向量答案： B解题思路：（ 1）当 a 、b 均为非零向量时， 由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知，ab 与 ab分别是以 a 、 b 为邻边的平行四边形的两条对角线。相等，所以，以 a 、 b 为邻边的四边形为矩形时，（ 2）当 a 、 b 中有零向量时，条件显然满足。综上所述，故选 B。| ab | | ab | 表明这个平行四边形的两条对角线的长ab ；错因分析：误区：错选A。思考不严密，只注意到了向量a 、 b 均不为零向量的情形，事实上，当a 、 b 中有零向量时显然也满足条件。由于零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向量。【易错题 2 】“两个向量共线”是这两个向量方向相反的（）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案： B。解题思路：两个向量a 与 b 共线，它们可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上，只要它们方向相同或相反即可。因此，两个向量方向相反这两个向量共线； 两个向量共线不能得到这两个向量反向。故选 B。错因分析：误区：两个向量共线包含两个向量同向和反向两种情况，因此，两个向量共线不能得到这两个向量反向；两个向量反向，这两个向量并不一定在同一条直线上。因此错选D。造成以上误区的原因是对两个向量共线的概念模糊。【易错题3A12Bn 13C2，n 1D2，2n 1）。若向量AB与CD共线】设点 （，）， （，）， （）， （且同向，则 n 的值为（）A. 2B. 2C.2D. 1答案： A解题思路： 由已知条件得 ABn, 1，CD4,n，由 AB 与 CD 共线得 n 24 0 ，n2 。当 n 2时，AB=（ ，）， CD=（ 4， 2），则有CD2AB，满足AB与 CD 同向，当n2时， AB2,1，2 1CD 4,2 ，有CD2AB ，此时 AB 与 CD 反向， 不符合题意。 因此，符合条件的只有 n2 。故选 A。错因分析： 误区：由已知可得 ABn, 1 ，CD4, n ，因为 AB 与 CD 同向且共线， 所以 n 24 =0，n 2 ，因此错选 C。出现错误的原因是对同向与共线的概念模糊。事实上，上述解答中只注意了共线条件，而忽视了另一个条件：方向相同。向量共线的充要条件中的正负决定两个向量是同向还是反向，0 ，同向；0 ，反向。【易错题 4 】已知 |AB| 8，| AC| 5，则|BC| 的取值范围是（）A. 3, 8B. （3， 8）C. 3, 13D. （ 3， 13）答案： C解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出|AB |8， |AC |5，BCACAB 。（ 1）当 ABC存在，即 A、 B、C 三点不共线时， 3 | BC | 13 ；（ 2）当 AC 与 AB 同向共线时， | BC | 3 ；当 AC 与AB 反向共线时，|BC | 13。 |BC | 3, 13，故选 C。错因分析：误区：错选 D。错误原因是对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C 三点不能共线，因此它们可以共线。当A、 B、 C 共线时， ABC不存在。题目中两向量a、 b 是任意向量，在解答构思中理应考虑到它们的特殊情形。【易错题5 】已知 a1,3 ， b2,，设 a 与 b 的夹角为，要使为锐角，求的